Kvadratna funkcija
 

Kvadratna funkcija




Oblike zapisa kvadratne funkcije



Splošna oblika in pomen vodilnega koeficienta a



Kvadratna funkcija je realna funkcija s predpisom v tako imenovani splošni obliki:



kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila. Koeficient a imenujemo koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient, b koeficient linearnega člena in c stalni, svobodni, prosti, ali konstantni člen.

Koeficient a ne more biti enak 0, ker potem funkcija ni več kvadratna.



Graf kvadratne funkcije imenujemo parabola. Obliko parabole določa vodilni koeficient a:

  • Če je vodilni koeficient a > 0 je parabola obrnjena navgor in ima obliko:



  • Če je vodilno koeficient a < 0 je parabola obrnjena navzdol in ima obliko:




  • Širina parabole je odvisna od absolutne vrednosti vodilnega koeficienta . Večja je absolutna vrednost, ožja in bolj strma je parabola:





Ničelna oblika in ničle kvadratne funkcije



Splošno obliko kvadratne funkcije zapišemo v ničelni obliki s pomočjo zapisa:



kjer so:
  • a koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient in
  • ničli kvadratne fukcije, ki ju izračunamo po obrazcu:



    pri čemer je D diskriminanta, ki jo izračunamo po obrazcu:





Ničle funkcije so tista števila x, pri katerih je vrednost funkcije f(x) enaka 0, se pravi nam povedo, kje funkcija seka os x.
Število in značaj ničel kvadratne funkcije je odvisen od diskriminante D:

  • če je , ima parabola dve različni realni ničli parabola seka os x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0

    za a < 0


  • če je, ima parabola eno samo dvojno realno ničlo parabola se dotika osi x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0

    za a < 0


  • če je , parabola nima ničel parabola ne seka in se ne dotika osi x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0

    za a < 0




Primer
Poglejmo si postopek doloćitve ničelne oblike na konkretnem primeru za funkcijo .

Koeficienti kvadratne funkcije, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju so:








Ničelna oblika kvadratne funkcije ima obliko , pri čemer sta in ničli kvadratne funkcije.

Za izračun ničel kvadratne funkcije potrebujemo diskriminanto D, ki jo izračunamo po obrazcu .

V obrazec za diskriminanto vstavimo podatke in jo izračunamo.
 
 
Dobimo diskriminanto.


Diskriminanta je D = 324.

Sedaj, ko poznamo diskriminanto D, lahko izračunamo ničli kvadratne funkcije po obrazcu :

V obrazec vstavimo podatke in izračunamo ničli kvadratne funkcije.
 
 


 


Dobimo ničli kvadratne funkcije.


Ničli kvadratne funkcije sta in


Sedaj, ko poznamo ničli kvadratne funkcije, uporabimo ničelno obliko kvadratne funkcije :

Vstavimo podatke v ničelno obliko kvadratne funkcije in poračunamo.
 
Dobimo kvadratno funkcijo v ničelni obliki


Ničelna oblika kvadratna funkcije je .


Temenska oblika in teme kvadratne funkcije



Določitev temenske oblike



Splošno obliko kvadratne funkcije: zapišemo v temenski obliki s pomočjo zapisa:



kjer so:
  • a koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient in
  • koordinati temena parabole , ki ju izračunamo po obrazcu:





    pri čemer je D diskriminanta, ki jo izračunamo po obrazcu:





Teme krivulje je v ravninski geometriji točka, kjer doseže ukrivljenost krivulje ekstremno (minimalno ali maksimalno) vrednost:

  • Če je a > 0 je parabola obrnjena navgor, torej ima v temenu T(p, q) pri p najmanjšo vrednost q:



  • Če je a < 0 je parabola obrnjena navzdol, torej ima v temenu T(p, q) pri p največjo vrednost q:





Iz gornjih grafov je razberemo, da je simetrijska os parabole paralelna z ordinatno osjo in je njena enačba:



Primer
Poglejmo si postopek določitve temenske oblike na konkretnem primeru za funkcijo .

Koeficienti kvadratne funkcije, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju so:








Za izračun koordinat temenas p in q potrebujemo diskriminanto D, ki jo izračunamo po obrazcu .

V obrazec za diskriminanto vstavimo podatke in jo izračunamo.
 
 
Dobimo diskriminanto.


Diskriminanta je D = 324.

Temenska oblika kvadratne funkcije ima obliko , pri čemer sta in koordinati temena .

Koordinati temena p in q izračunamo s pomočjo obrazcev:





Vstavimo podatke in izračunamo.
 
 
Dobimo koordinato temena p.


Vstavimo podatke in v prejšnjem poglavju izračunano diskriminanto ter izračunamo.
 
 
Dobimo koordinato temena q.


Koordinati temena T sta in


Sedaj, ko poznamo koordinati temena kvadratne funkcije, uporabimo temensko obliko kvadratne funkcije

Vstavimo podatke v temensko obliko kvadratne funkcije.
Dobomo kvadratno funkcijo v temenski obliki.


Temenska oblika kvadratne funkcije je



Določitev temenske oblike z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata



Do temenske oblike kvadratne funkcije lahko pridemo tudi, če splošno obliko dopolnimo do popolnega kvadrata, kar izvedemo z naslednjimi koraki:

Z oklepajem ogradimo kvadratni in linearni člen.
Iz oklepaja izpostavimo koeficient kvadratnega člena a.
Izrazu v oklepaju prištejemo in odštejemo kvadrat polovice koeficienta linearnega člena .
Namesto lahko zapišemo .
Uredimo.
 
 
 
Upoštevamo da je diskriminanta .
Upoštevamo, da je in .
 


Dobimo temensko obliko kvadratne funkcije.


Primer
Poglejmo si postopek dopolnjevanja do popolnega kvadrata na konkretnem primeru za funkcijo :


Z oklepajem ogradimo kvadratni in linearni člen.
Iz kvadratnega in linearnega člena izpostavimo vodilni koeficient .
Izrazu v oklepaju prištejemo in odštejemo kvadrat polovice koeficienta linearnega člena .
 
Namesto lahko zapišemo .
Uredimo.
 
 


Temenska oblika podane kvadratne funkcije je .



Risanje grafa kvadratne funkcije (parabole)



Risanje parabole na osnovi splošne oblike



Pri risanju parabole , ki je podana v splošni obliki, si pomagamo s ključnimi točkami, ki so:

  • ničle kvadratne funkcije

    Ničle so točke, kjer funkcija seka, oziroma se dotika x osi in zanje velja y = 0:





  • začetna vrednost funkcje

    Začetna vrednost funkcije je točka, v kateri funkcija seka os y in zanjo velja x = 0:



  • teme funkcije

    Teme je točka, kjer ima kvadratna funkcija ekstremno (minimalno ali maksimalno) vrednost:



  • zrcalna slika začetne vrednosti

    Ker je kvadratna funkcija simetrična glede na navpičnico skozi teme lahko kot dodatno oporno točko uporabimo še točko, ki je zrcalna slika začetne vrednosti:







V koordinatni sistem vrišemo izračunane ključne točke in skoznje narišemo graf podane kvadratne funkcije.

Obrazci za izračun ključnih točk so:










Primer
Poglejmo si postopek risanja na konkretnem primeru za funkcijo .


Koeficienti kvadratne funkcije, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju, so:








Pri risanju kvadratne funkcije si bomo pomagali s ključnimi točkami. Poiščimo točke:

  • ničli kvadratne funkcije

    Za izračun ničel kvadratne funkcije potrebujemo diskriminanto D, ki jo izračunamo po obrazcu .

    V obrazec za diskriminanto vstavimo vrednosti koeficientov in jo izračunamo.
     
     
    Dobimo diskriminanto.


    Sedaj, ko poznamo diskriminanto D, bomo izračunali ničli kvadratne funkcije po obrazcu .

    V obrazec vstavimo podatke in izračunamo ničli kvadratne funkcije.
     
     


     


     


     


    Dobili smo ničli kvadratne funkcije:





    oziroma točki, kjer funkcija seka x os in zanju velja y = 0:





  • začetna vrednost funkcje

    Začetna vrednost funkcije je točka, v kateri funkcija seka os y in zanjo velja x = 0. Izračunajmo začetno vrednost :

    Vstavimo x = 0.
     
    Dobimo začetno vrednost.


    Iskana točka je torej:



  • teme funkcije

    Diskriminanto D že poznamo, zato lahko izračunamo koordinati temena p in q s pomočjo obrazcev:





    Vstavimo podatke ter izračunamo.
     
     
    Dobimo koordinato temena p.


    Vstavimo podatke izračunamo.
     
     
    Dobimo koordinato temena q.


    Teme podane kvadratne funkcije je



Ker je je funkcija obrnjena navzgor, torej ima v temenu najmanjšo vrednost (ima obliko:).

V koordinatni sistem vrišimo točke, ki smo jih izračunali. Ker je kvadratna funkcija simetrična glede na navpičnico skozi teme T lahko kot dodatno oporno točko vrišemo še točko , ki je zrcalna slika začetne vrednosti .

Skozi narisane točke narišemo graf podane kvadratne funkcije:



Risanje parabole na osnovi temenske oblike



Iz funkcije , ki je podana v temenski obliki, razberemo naslednja, za risanje njenega grafa, pomembna podatka:

izhodiščno funkcijo in

teme .


Najprej narišemo izhodiščno funkcijo , ki je najpreprosta oblika kvadratne funkcije (ker sta b = 0 in c = 0) in jo zato lahko narišemo kar s pomočjo tabeliranja. Za x-e izberemo poljubne vrednosti (običajno izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti in s tem dobimo točke skozi katere gre funkcija.

V koordinatni sistem vrišemo dobljene točke in skoznje potegnemo izhodiščno funkcijo .


Funkcijo potem narišemo tako, da narisani izhodiščni graf togo premaknemo tako, da je njeno teme v točki T(p, q), ki je teme podane funkcije.


Primer
Poglejmo si postopek risanja na konkretnem primeru za funkcijo .


Iz podane funkcije razberemo naslednja, za risanje njenega grafa, pomembna podatka:

izhodiščno funkcijo in

teme .


Najprej narišemo izhodiščno funkcijo , ki je najpreprosta oblika kvadratne funkcije (ker sta b = 0 in c = 0) in jo zato lahko narišemo kar s pomočjo tabeliranja. Za x-e izberemo poljubne vrednosti (običajno izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti in s tem dobimo točke skozi katere gre funkcija:

xtočka 
- 2- 12 
- 1- 3 
00 
1- 3 
2- 12 


V koordinatni sistem vrišemo dobljene točke in skoznje potegnemo izhodiščno funkcijo .


Funkcijo , narišemo tako, da narisani izhodiščni graf togo premaknemo tako, da je njeno teme v točki T(- 1, 1), ki je teme podane funkcije.




Medsebojna lega parabole in premice



Kakšno medsebojno lego imata parabola in premica določimo tako, da rešimo sistem njunih enačb:





Razrešimo ga z zamenjalnim načinom. V prvi enačbi neznanko y nadomestili z izrazom v drugi enačbi:

V enačbi y nadomestimo z .
Vse člene premestimo na levo stran enačbe in jih uredimo po padajočih potencah.
Izpostavimo x, da dobimo koeficient b.
Enačbo množimo z - 1. Običajno enačbo množimo ali delimo tako, da je vodilni koeficient pozitiven.
Dobimo kvadratno enačbo.


Abscisa presešiča parabole in premice je rešitev kvadratne enačbe:



ki ima koeficiente:








Medsebojna lega parabole in premice je odvisna od diskriminante D, ki jo izračunamo po obrazcu :

  • če je , premica seka parabolo v dveh točkah



  • če je , se premica dotika parabole, se pravi, da je njena tangenta



  • če je , premica in parabola nimata nobene skupne točke





Primer
Za kateri k se bo premica dotikala parabole ?

Premica se dotika parabole, če ima z njo eno samo skupno točko (dotikališče). Presečišče premice in parabole mora torej biti eno samo.


Pa izračunajmo presečišče premice in parabole.

Presečišča dveh funkcij izračunamo tako, da rešimo sistem njunih enačb:






Razrešimo ga z zamenjalnim načinom. V prvi enačbi bomo neznanko y nadomestili z izrazom v drugi enačbi:

V enačbi y nadomestimo z .
Vse člene premestimo na levo stran enačbe in jih uredimo po padajočih potencah.
Izpostavimo x, da bomo dobili koeficient b.
Enačbo množimo z - 1. Običajno enačbo množimo ali delimo tako, da je vodilni koeficient pozitiven.
Dobimo kvadratno enačbo.


Koeficienti kvadratne enačbe, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju, so:







Ker mora biti presečišče eno samo, mora biti diskriminanta gornje enačbe enaka 0, torej:



Uporabimo obrazec za determinanto .
Vstavimo koeficiente in izračunamo parameter m.
 
 
Dobimo kvadratno enačbo za iskani parameter k.


Koeficienti kvadratne enačbe, ki jih potrebujemo za nadaljni izračun, so:








Za izračun rešitev kvadratne enačbe potrebujemo diskriminanto D, ki jo izračunamo po obrazcu .

V obrazec za diskriminanto vstavimo podatke in jo izračunamo.
 
 
 


Sedaj, ko poznamo diskriminanto D, bomo izračunali rešitvi kvadratne enačbe po obrazcu .

V obrazec vstavimo podatke in izračunamo rešitvi kvadratne enačbe
 
 


 


 


Dobimo rešitvi za iskani parameter k.


Premica se dotika parabole za vrednosti parametra in .
 
 
fb