Funkcije in njihove lastnosti

Če sta dve količini med seboj odvisni, zanju lahko zapišemo predpis, ki ga matematično imenujemo funkcija. Funkcijo lahko predstavimo na različne načine.

Dve količini sta lahko odvisni med seboj; pri tem eno imenujemo odvisna, drugo pa neodvisna spremenljivka:

Pravimo tudi, da je odvisna spremenljivka funkcija neodvisne spremenljivke , in to zapišemo z:

kjer je predpis, pa vrednost te funkcije pri danem .

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu iz množice , priredi natanko en element iz množice . Grafično to lahko ponazorimo s puščičnim diagramom.

Dogovorili se bomo za naslednje označevanje:

Definicijsko območje je množica, na kateri je definirana funkcija. Elemente imenujemo tudi imenujemo original.

Zaloga vrednosti je množica vseh funkcijskih vrednosti . Množica je lahko enaka množici , v katero predpis slika ali pa je le njena podmnožica.

Funkcijo lahko predstavimo na različne načine. Najbolj pogosto jo predstavimo s predpisom. V primeru da sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici, lahko funkcijo predstavimo s tabelo ali s puščičnim diagramom. Realne funkcije pa lahko predstavimo tudi z grafom.

Funkcijo lahko podamo tako, da povemo kako funkcija originale spreminja v slike. To navedemo s predpisom:

Funkcijo lahko podamo s tabelo v primeru, ko sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici. V prvo vrstico vnašamo vrednosti neodvisne spremenljivke, v drugo pa vrednosti odvisne spremenljivke.

Če pa govorimo o realni funkciji realne spremenljivke, preslikave ne moremo v celoti podati s tabelo. S tabelo si lahko ponazorimo le nekatere vrednosti funkcijskega predpisa.

Najprej narišemo dva diagrama, s katerima ponazorimo množico in množico . S puščicami ponazorimo, kateri elementi množice se preslikajo v elemente množice .

Graf funkcije je v matematiki osnovni način za prikaz funkcije. Graf funkcije je definiran kot množica urejenih parov , kjer prvi element preteče celotno definicijsko območje funkcije, drugi element pa je slika pripadajočega . Torej velja med komponentama zveza . Matematično to zapišemo kot:

Kar preberemo: gama je množica vseh parov , kjer je element množice definicijskega območja , pa preslikava elementa , v skladu s predpisom .

Urejene pare lahko narišemo v koordinatnem sistemu. Ko je množica končna (ima končno število elementov), tedaj vsakemu elementu pripada v koordinatnem sistemu točka, katere abscisa je , ordinata pa je njegova slika .

Če absciso točke vstavimo v funkcijski predpis in kot rezultat dobimo ordinato te točke, potem točka leži na grafu funkcije .

V naslednjih poglavjih se bomo naučili poiskati ničlo funkcije in njeno začetno vrednost.

Ničla funkcije je tisto število , pri katerem je vrednost funkcije enaka 0. V koordinatnem sistemu ničlo funkcije vidimo v tisti točki, kjer graf funkcije seka ali se dotakne osi .

V linearni enačbi nastopa na prvo potenco. Zaradi tega premici rečemo tudi, da je enačba prve stopnje; njeno ničlo imenujemo tudi enostavna ničla. Graf linearne funkcije seka abscisno os pod določenim neničelnim kotom.

Začetna vrednost je točka, kjer graf seka ordinatno os. Ker točka leži na ordinatni osi je njena abscisa enaka 0, ordinato pa izračunamo tako, da za vrednost vstavimo 0:

Točka je zato oblike: .

Vrednost funkcije je na določenem intervalu neodvisne spremenljivke lahko pozitivna, negativna ali pa je njena vrednost enaka 0.

Interval neodvisne spremenljivke obsega tista števila , pri katerih je vrednost funkcije pozitivna, negativna ali enaka 0.

Za graf funkcije velja:

Če ugotavljamo predznak funkcije računsko, vstavimo vrednost neodvisne spremenljivke v funkcijski zapis in pogledamo predznak rezultata.

Vrednost funkcije na določenem intervalu neodvisne spremenljivke lahko narašča, pada ali pa je njena vrednost konstanta.

Če se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in opazimo, da se povečuje tudi vrednost funkcije, potem funkcija narašča:

Če se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in opazimo, da se vrednost funkcije zmanjšuje, potem funkcija pada:

Če pa se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in ne opazimo spremembe vrednosti funkcije , je funkcija konstantna:

Za graf funkcije velja:

Računsko ugotavljanje intervala naraščanja in padanja presega nivo tega gradiva in se ga lotimo kasneje v gradivu Uporaba odvoda.

Funkcija je lahko omejena bodisi navzgor ali navzdol, lahko pa je tudi neomejena.

Če obstaja največja vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, je funkcija omejena navzgor:

Če obstaja najmanjša vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, je funkcija omejena navzdol:

Če ne obstaja niti najmanjša, niti največja vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, funkcija ni omejena.

Za graf funkcije velja:

Če v funkcijo vstavimo poljubni nasprotni vrednosti neodvisne spremenljivke in dobimo v obeh primerih enako vrednost odvisne spremenljivke , je funkcija soda.

Če v funkcijo vstavimo poljubni nasprotni vrednosti neodvisne spremenljivke in dobimo za rezultat nasprotni vrednosti odvisne spremenljivke , je funkcija soda.

Računsko sodost in lihost določimo s preoblikovanjem predpisa funkcije.

Injektivnost, surjektivnost in bijektivnost so lastnosti funkcije. Oglejmo si jih.

Funkcija je injektivna, če preslika različne originale v različne slike.

Injektivnost v grafu preverimo tako, da narišemo vzporednice k abscisni osi. V primeru, ko je funkcija injektivna, vsaka taka vzporednica seka graf le v eni točki. Če premica graf seka v dveh (ali več) točkah, potem funkcija ni injektivna.

Funkcija je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici . Z drugimi besedami to pomeni, če je vsak element iz množice slika vsaj enemu elementu iz množice .

Če je funkcija injektivna in surjektivna hkrati, pravimo, da je funkcija bijektivna. Z drugimi besedami to pomeni, da je vsak element iz množice slika natanko enega elementa iz množice .