Seštevanje in odštevanje ulomkov
 

Ulomki za osnovno šolo




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Če celoto razrežemo na enako velike kose, potem lahko z ulomkom predstavimo želeni del celote.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zapis ulomka



Ulomek zapišemo v obliki dveh števil, ki sta med seboj ločeni z vodoravno črto.


Zgornje število imenujemo števec, spodnje število pa imenovalec.




Imenovalec nam pove, na koliko enakih kosov je razdeljena celota. Števec pa nam pove, koliko takšnih kosov predstavlja naš del celote.


Grafična ponazoritev ulomkov



Ulomek je del celote, zato si ga najlažje predstavljamo z opazovanjem neke konkretne celote in njenih delov.


Pri tem si najpogosteje pomagamo z geometrijskimi liki, na primer s krogom ali s pravokotnikom.


Če želimo prikazati ulomek kot del lika:

  • lik najprej razdelimo na toliko enakih delov, kolikor znaša imenovalec ulomka ter

  • pobarvamo toliko delov, kolikor znaša števec ulomka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Računanje vrednosti ulomkov



Ulomek je pravzaprav drugačen zapis za deljenje. Predstavlja namreč deljenje števca z imenovalcem:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Spomnimo se, da deljenje z 0 ni definirano. Zato tudi ulomek z imenovalcem 0 nima pomena, saj celote ne moremo razdeliti na 0 delov.


Ulomek , pri čemer je a poljubno število, je nedefiniran in brez pomena.



Glede na rezultat deljenja ločimo več vrst ulomkov. Ti se razlikujejo tako po velikosti kot po načinu zapisa.


Ulomek kot decimalno število



Ko računamo vrednost ulomka, v katerem števec ni večkratnik imenovalca, potem se deljenje ne izide in dobimo decimalno število. Ulomek lahko v tem primeru zapišemo kot decimalno število.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomki, ki jih lahko zapišemo kot naravna števila



Če je števec ulomka večkratnik imenovalca, se deljenje izide in ulomek lahko zapišemo v obliki naravnega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Velja tudi obratno. Naravno število lahko zapišemo kot ulomek. To pa velja za vsako naravno število.


Najenostavnejši je tak ulomek, ki ima imenovalec 1. Takšen ulomek dobimo tako, da pod naravnim številom dopišemo ulomkovo črto in v imenovalec zapišemo 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naravna števila običajno pretvarjamo v ulomke, ko imamo v računu naravna števila in ulomke.


Velja, da naravno število preoblikujemo v ulomek s poljubnim imenovalcem, le da imenovalec ni 0. Če naredimo takšno pretvorbo, moramo paziti, da ohranimo isto vrednost. To pomeni, če delimo števec in imenovalec ulomka, mora biti vrednost ulomka enaka naravnemu številu od prej.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če je števec večkratnik imenovalca, lahko ulomek zapišemo kot naravno število.


Vsako naravno število n lahko zapišemo kot ulomek ali pa kot ulomek s poljubnim imenovalcem, ki ni enak 0.



Če je števec ulomka enak imenovalcu, potem je ulomek enak 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomki, manjši od 1



Če je števec ulomka manjši od imenovalca, je rezultat deljenja manjši od 1. Tak ulomek imenujemo tudi pravi ulomek.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vrednost ulomka, ki ima števec manjši od imenovalca, je manjša od 1.



Če je števec ulomka enak 0, je vrednost ulomka enaka 0. Imamo namreč 0 delov celote. Pri tem vrednost imenovalca ne sme biti enaka 0.


Ulomek , pri čemer je a poljubno naravno število, je enak 0.



Ulomki, večji od 1



Če je števec ulomka večji od imenovalca, je rezultat deljenja večji od 1. Tak ulomek imenujemo tudi nepravi ulomek.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vrednost ulomka, ki ima števec večji od imenovalca, je večja od 1.



Nepravi ulomek lahko zapišemo v obliki celega dela in ulomka, manjšega od 1. Tak zapis imenujemo tudi mešano število.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naredimo lahko tudi obratno - mešano število zapišemo kot nepravi ulomek.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Prikaz ulomka na številski premici



Ulomke lahko umestimo tudi na številsko premico. S tem vidimo, kako veliki so, oziroma kako daleč so od izhodišča. V postopku umeščanja ulomka na številsko os:

  • najprej upoštevamo njegov celi del in se premaknemo za toliko števil v desno,

  • zatem pa desno od tega števila upoštevamo še ulomkov neceli del, tako da ga prikažemo kot del celote do naslednjega naravnega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Razširjanje ulomkov



Razširjanje ulomka je množenje števca in imenovalca z enakim številom, različnim od 0 in 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če ulomek razširimo s številom 2, to pomeni, da celoto razrežemo na dvakrat več kosov. S tem se podvoji tako število v števcu kot v imenovalcu. Celota je torej razrezana na manjše kose, vendar jih imamo tudi mi več v števcu. Zato se vrednost ulomka nič ne spremeni.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomek lahko razširimo na poljuben celoštevilski števec ali imenovalec, razen 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomek razširimo tako, da tako števec in imenovalec množimo z istim številom, različnim od 0 in 1.


Vrednost ulomka se s tem ne spremeni.



Krajšanje ulomkov



Krajšanje ulomka je deljenje števca in imenovalca z enakim številom, različnim od 0 in 1. To je torej obratno od razširjanja ulomka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomek krajšamo tako, da tako števec in imenovalec delimo z istim številom, različnim od 0 in 1.


Pri tem se vrednost ulomka ne spremeni.



Ulomek lahko krajšamo večkrat, vse dokler števec in imenovalec nimata več nobenega skupnega delitelja razen števila 1. Ko se to zgodi, je ulomek okrajšan, števili v števcu in imenovalcu pa sta si tuji.


Ulomek najlažje krajšamo z malimi praštevili (2,3,5,7...). Z enim praštevilom lahko krajšamo večkrat, vrstni red krajšanja pa je poljuben.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Okrajšani ulomek ima v števcu in imenovalcu tuji si števili.



Okrajšani ulomek predstavlja enak delež kot prvotni ulomek.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomek v enem koraku okrajšamo tako, da števec in imenovalec delimo z njunim največjim skupnim deliteljem.



Primerjava in urejanje ulomkov po velikosti



Če ima več ulomkov enak števec ali imenovalec, jih lahko po velikosti primerjamo neposredno. Če pa niso enaki v števcih ali imenovalcih, jih bomo razširili na enak imenovalec.


Ulomki z enakim imenovalcem



Med ulomki z enakimi imenovalci je:

  • najmanjši tisti ulomek, ki ima najmanjši števec

  • največji pa je tisti, ki ima največji števec.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomki z enakim števcem



Med ulomki z enakimi števci je:

  • najmanjši ulomek tisti, ki ima največji imenovalec,

  • največji pa tisti, ki ima najmanjši imenovalec.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomki z različnim števcem in imenovalcem



V primeru, da se ulomki razlikujejo tako po števcih kot po imenovalcih, bomo ulomke lahko primerjali šele potem, ko jih razširimo na skupni imenovalec.


Skupni imenovalec je lahko vsak skupni večkratnik števil v imenovalcih danih ulomkov. Običajno pa ulomke razširimo na najmanjši skupni imenovalec. To je najmanjši skupni večkratnik števil v imenovalcih danih ulomkov.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomke lahko primerjamo po velikosti tudi tako, da jih najprej pretvorimo v decimalna števila. Vendar imamo s tem običajno več dela in možnosti za napako.


Desetiški ulomki in decimalna števila



Desetiški ulomek ima v imenovalcu potenco števila 10, torej 10, 100, 1000, ...


Desetiški so tudi tisti ulomki, ki v imenovalcu nimajo potence števila 10, a jih lahko v tako obliko preoblikujemo bodisi s krajšanjem bodisi z razširjanjem.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ker ulomkova črta predstavlja deljenje, števec delimo z imenovalcem in dobimo decimalno število.


Če je ulomek desetiški, ga lahko zapišemo v obliki končnega decimalnega števila. Tako število ima končno število decimalk, ki niso enake 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če ulomek ni desetiški, pa se v količniku določen del decimalk periodično ponavlja v neskončnost. Tak zapis imenujemo periodično decimalno število, ponovljeno zaporedje števk pa perioda.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Takšna števila, pri katerih se ponavlja perioda, so najlepše zapisana z ulomkom.


Seštevanje in odštevanje ulomkov



Ulomke lahko seštevamo in odštevamo le, če imajo enak imenovalec. To pomeni, da lahko seštevamo ali odštevamo samo enako velike kose celote.


Polovic in tretjin ne moremo sešteti iz istega razloga, kot ne moremo sešteti jabolk in hrušk. Kosi niso enaki.



Seštevanje ulomkov



Ko seštevamo ulomke z enakimi imenovalci, ulomke najprej zapišemo na skupno ulomkovo črto.


To naredimo tako, da:

  • vse števce seštejemo nad ulomkovo črto,

  • skupni imenovalec vseh ulomkov pa zapišemo pod ulomkovo črto.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tudi vsota ulomkov je ulomek. Preden zapišemo končni rezultat seštevanja, preverimo:

  • če je dobljen ulomek možno še okrajšati - v tem primeru ga moramo okrajšati

  • če ga lahko zapišemo v obliki mešanega števila - v tem primeru ga zapišemo z mešanim številom.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Mešano število je enako kot vsota celega in necelega dela ulomka. Pomeni namreč, da imamo celi del in dodatno še neceli del ulomka



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če je kateri izmed seštevancev mešano število, ga ni potrebno pretvarjati v nepravi ulomek, ampak lahko seštejemo posebej cele dele in posebej ulomke, manjše od 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomke lahko seštejemo le, če imajo enake imenovalce. Pri tem ulomke zapišemo na skupno ulomkovo črto in seštejemo števca, imenovalec pa prepišemo.



Odštevanje ulomkov



Pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ulomka najprej zapišemo na skupno ulomkovo črto.


To naredimo tako, da:

  • števca odštejemo nad ulomkovo črto v istem vrstnem redu,

  • imenovalec pa prepišemo.


Če se imenovalci ulomkov razlikujejo, jih razširimo na najmanjši skupni imenovalec.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tudi razlika ulomkov je ulomek. Preden zapišemo končni rezultat odštevanja, vedno preverimo, če je dobljen ulomek možno še okrajšati.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomek lahko od celega števila odštejemo na več načinov:

  • celo število lahko takoj zapišemo kot ulomek,

  • ali pa prej celo število razdelimo na vsoto, da imamo manjše številke.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri odštevanju mešanega števila od mešanega števila je najlažje pretvoriti mešana števila v neprave ulomke in računati z njimi.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomka lahko odštejemo le, če imata enake imenovalce. Pri tem ulomka zapišemo na skupno ulomkovo črto in odštejemo števca, imenovalec pa prepišemo.



Množenje in deljenje ulomkov



Pri množenju in deljenju ulomkov se imenovalci lahko razlikujejo, pred začetkom računanja pa moramo vsa mešana števila zapisati kot neprave ulomke.


Množenje ulomkov



Pri množenju ulomka najprej zapišemo na skupno ulomkovo črto, nato pa zmnožimo:

  • števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in

  • imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tudi produkt ulomkov je ulomek. Preden zapišemo končni rezultat množenja preverimo, če je dobljen ulomek možno še okrajšati ali zapisati v obliki mešanega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če v računu množenja nastopajo mešana števila, jih najprej zapišemo z nepravimi ulomki, cela števila pa kot ulomke z imenovalcem 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri množenju ulomke zapišemo na skupno ulomkovo črto, nato pa med seboj zmnožimo vse števce in vse imenovalce.



Na skupni ulomkovi črti lahko krajšamo poljuben faktor v števcu s poljubnim faktorjev v imenovalcu. To izhaja iz zakona o zamenjavi pri množenju. Zato je vseeno, če krajšamo števec enega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če po koncu krajšanja v imenovalcu ostane le še število 1, rezultat zapišemo v obliki naravnega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če imamo ulomek, v katerem v števcu in imenovalcu ni samih produktov, takrat števil ne smemo krajšati.


Najprej moramo izračunati vrednost števca in vrednost imenovalca, šele nato preverimo, če lahko ulomek okrajšamo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomke lahko krajšamo le takrat, ko so na ulomkovi črti samo produkti.



Obratna vrednost ulomka



Poglejmo si pojem obratna vrednost ulomka.


Obratno vrednost ulomka dobimo tako, da zamenjamo mesti števca in imenovalca. Ulomek obrnemo okoli.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zmnožek ulomka in njegove obratne vrednosti je enak 1.




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Deljenje ulomkov



Deljenje je obratna operacija od množenja. Zato lahko deljenje ulomkov zapišemo kot množenje

  • deljenca z

  • obratno vrednostjo delitelja.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomka torej delimo tako, da deljenec zmnožimo z obratno vrednostjo delitelja.


Oglejmo si še nekaj primerov deljenja ulomkov.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tudi količnik ulomkov je ulomek. Preden zapišemo končni rezultat množenja preverimo, če je dobljen ulomek možno še okrajšati ali zapisati v obliki mešanega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če v računu deljenja nastopajo mešana števila, pred postopkom le-ta zapišemo z nepravimi ulomki, cela števila pa kot ulomke z imenovalcem 1.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ulomka delimo tako, da deljenec zmnožimo z obratno vrednostjo delitelja.



Rezultat seštevanja, odštevanja, množenja ali deljenja ulomkov mora biti okrajšan ulomek.




glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.