Določeni integral

Določeni integral se uporablja za izračun ploščine krivočrtnega lika, ki ga na izbranem intervalu omejujeta nenegativna zvezna funkcija in abscisna os.

Označimo ga kot:

kjer je spodnja meja in zgornja meja določenega integrala.

V koordinatnem sistemu vzemimo lik, ki je omejen z abscisno osjo, grafom zvezne funkcije in premicama in .

Razdelimo interval na n podintervalov:

Širine podintervalov so:

V vsakem podintervalu izberemo točko z absciso tako, da velja:

Narišemo pravokotnike z višino .

Produkt je ploščina pravokotnika označenega na zgornji sliki

Če seštejemo ploščine vseh pravokotnikov, dobimo približek za ploščino lika, ki ga omejuje funkcija ter premici in :

Tem ožji so pasovi, torej čim manjše so ploščine pravokotnikov, tem bolj se vsota ploščin približa ploščini krivočrtnega lika na intervalu . Natančna ploščina lika je vrednost limite:

Limito imenujemo določeni integral.

Določeni integral zvezne funkcije na intervalu je enak ploščini lika, omejenega s krivuljo in abscisno osjo na intervalu :

Določeni integral, oziroma ploščino označenega lika, označimo z:

Med nedoločenim in določenim integralom velja zveza, ki jo imenujemo Newton-Leibnizova formula ali osnovni izrek integralskega računa:

V praksi to pomeni, da določeni integral funkcije na intervalu lahko torej izračunamo tako, da najprej integriramo . Dobimo funkcijo , ki je nedoločeni integral funkcije . Od vrednosti funkcije na zgornji meji odštejemo vrednost na spodnji meji .

Določeni integral vsote dveh funkcij je enak vsoti določenih integralov posameznih funkcij.

Če je odvedljiva funkcija na intervalu potem velja:

Naj bo . Tedaj velja:

Naj bo . Če določenemu integralu zamenjamo meji med seboj, integral spremeni predznak.

Če sta meji enaki, ima nedoločeni integral vrednost 0.

Konstantni faktor, s katerim je pomnožena funkcija pod integralskim znakom, lahko pišemo pred integralski znak:

Če je funkcija na intervalu zvezna, obstaja na tem intervalu vsaj ena točka , tako da je

Število imenujemo povprečna vrednost funkcije na izbranem intervalu.

Določeni integral zvezne funkcije na intervalu je enak ploščini lika, omejenega s krivuljo in abscisno osjo na intervalu :

Določeni integral označimo z:

Imejmo primer, ko je funkcija na intervalu zvezna in povsod negativna :

Določeni integral

je zato tudi negativen in enak nasprotni vrednosti ploščine lika, omejenega z grafom funkcije ter premicama in :

Da bo izračunan določeni integral enak ploščini lika, funkcijo zapišemo z absolutno vrednostjo:

Imejmo primer, ko je funkcija na intervalu zvezna ter pozitivna in negativna:

Določeni integral

je enak razliki med ploščinami likov, ki ležijo nad abscisno osjo in ploščinami likov, ki ležijo pod abscisno osjo (liki so omejeni z grafom funkcije in abscisno osjo). Da bo izračunani določeni integral enak ploščini označenega lika, funkcijo zapišemo s pomočjo podintervalov:

Prav tako kot računanje ploščin likov, ki jih grafi oklepajo z osjo x, lahko računamo tudi ploščine likov, ki ležijo med dvema grafoma.

Naj bosta dani funkciji in :

Poglejmo si primer podrobneje.

Naj bosta funkciji in zvezni na intervalu . Graf funkcije naj leži nad grafom funkcije za vsak iz tega intervala:

Izračunati želimo ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij in na intervalu :

Poglejmo najprej ploščino lika, ki ga omejujeta krivulja in abscisna os.

Na intervalu je ploščina lika med grafom funkcije in abscisno osjo, glede na geometrijski pomen določenega integrala enaka:

Podobno določimo ploščino lika med grafom funkcije in abscisno osjo.

Ploščina tega lika je tako:

Iščemo ploščino lika, ki se nahaja med obema krivuljama.

Iz slike je razvidno, da je ploščina lika med obema grafoma enaka:

Kar lahko zapišemo tudi drugače:

Naj bosta dani funkciji in :

Če leži kateri od grafov funkcij in na integracijskem intervalu pod abscisno osjo, prištejemo obema funkcijama isto, dovolj veliko pozitivno konstanto , da oba grafa premaknemo nad abscisno os.

Tako dobimo funkciji in , pri tem pa se lik, katerega ploščino bi radi izračunali, ne spremeni (ostane skladen s prvotnim). Ploščino osenčenega lika tako lahko izračunamo:

Ploščina med grafom funkcije in abscisno osjo je:

Ploščina med grafom funkcije in abscisno osjo pa je:

Ploščino lika med obema grafoma lahko sedaj zapišemo:

Ob upoštevanju, da je integral vsote funkcij enak vsoti integralov funkcij, vidimo, da se v računu konstanta izniči in je ploščina osenčenega lika enaka:

Če območje, ki ga omejujeta graf funkcije in os na intervalu zavrtimo za okoli abscisne osi, dobimo rotacijsko telo.