Elipsa fb
 

Elipsa




Zvonka Cencelj, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Domžale, Ljubljana.


Elipsa je množica vseh točk v ravnini, za katere je vsota razdalj od dveh fiksnih točk , konstanta.


Geometrijsko definicijo elipse lahko zato zapišemo kot:




geometrijsko definicijo pa lahko lepo vidimo na sliki:


Elipsa



Matematično je, za enačbo elipse kot krivulje drugega reda, značilno, da imata kvadratna člena enak predznak in :




Značilni elementi elipse



Značilne elemente elipse najlažje preberemo s pomočjo skice:
















Elipsa ima dve polosi:

  • veliko polos: je razdalja od središča do bolj oddaljenega temena; običajno jo označimo z a. Gorišči elipse ležita vedno na veliki polosi.

  • malo polos: je razdalja od središča do manj oddaljenega temena; običajno jo označimo z b.


Pomebna lastnost elipse je še numerična ekscentričnost, ki je določena z:




Numerična ekscentričnost elipse nam pove, kako sploščena je elipsa. Numerična ekscentričnost leži vedno na intervalu .


Izpeljava enačbe elipse



To poglavje ni bistvenega pomena za razumevanje snovi, zato ga lahko bralec tudi izpusti. Namenjeno je tistim učencem, ki si želijo snov poglobiti.



Pri izpeljevanju enačbe si bomo pomagali s sliko:




Začnimo z geometrijsko definicijo elipse:




Prvi korak, ki ga moramo narediti, je, da določimo vrednost konstante. Konstanto določimo tako, da se postavimo v točko B in iz slike preberemo (glej predhodnje poglavje: Značilni elementi elipse):






V enačbo vstavimo in in dobimo:




Dobljeno konstanto vstavimo nazaj v prvotno enačbo in zapišemo:




Naslednji korak izpeljave je, da izrazimo in s pomočjo koordinate x in y. To naredimo s pravokotnimi trikotniki: trikotnika in sta pravokotna, zato lahko zapišemo zanju pitagorov izrek:






Končno lahko izpeljemo enačbo elipse:



Tako dobimo iskano enačbo elipse v središčni legi:




Elipsa v središčni legi



Enačba elipse s središčem v koordinatnem izhodišču v segmentni (odsekovni) obliki:




Opazimo lahko, da če velja a = b, se elipsa pretvori v krožnico.


Elipsa je lahko orientirana na dva različna načina in sicer:

  • a > b, oziroma a predstavlja veliko polos, b pa malo;

  • b > a, oziroma b predstavlja veliko polos, a pa malo.

Oglejmo si obe orientaciji.


a velika polos, b mala polos (a > b)



Značilne elemente elipse najlažje preberemo s pomočjo skice:




Iz skice vidimo, da ima elipsa temena v točkah:










Gorišči elipse sta določeni z linearno ekscentričnostjo e:








Numerična ekscentričnost elipse je:




b velika polos, a mala polos (b > a)



Če je b > a potem je elipsa raztegnjena v smeri ordinatne osi:




Iz skice vidimo, da ima elipsa temena v točkah:










Gorišči elipse sta na ordinatni osi:






Linearno ekscentričnost elipse izračunamo:




Numerična ekscentričnost elipse je:




Elipsa v premaknjeni legi



Če elipso vzporedno premaknemo tako, da pride središče v točko , ima premaknjena elipsa enačbo:




Oglejmo si na skici kako izgleda premaknjena elipsa:


Elipsa v premaknjeni legi



Elipsa v premaknjeni legi ima središče v točki


Značilne točke elipse v premaknjeni legi razberemo iz skice. Vidimo, da ima elipsa temena v točkah:










Gorišči elipse sta določeni z linearno ekscentričnostjo e:








Numerična ekscentričnost elipse je:





glavni avtor in urednik gradiva: PROBI - inštrukcije, tečaji, priprava na maturo, Zvonka Cencelj s. p.