Lastnosti funkcije fb
 

Funkcije in njene lastnosti




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Če sta dve količini med seboj odvisni, zanju lahko zapišemo predpis, ki ga matematično imenujemo funkcija. Funkcijo lahko predstavimo na različne načine.


Odvisna in neodvisna spremenljivka



Dve količini sta lahko odvisni med seboj; pri tem eno imenujemo odvisna, drugo pa neodvisna spremenljivka:

  • odvisna spremeljivka: količina, ki je odvisna od druge količine; v matematiki jo označimo z y.

  • neodvisna spremeljivka: količina, ki se lahko poljubno (neodvisno) spreminja; v matematiki jo označimo z x.

Pravimo tudi, da je odvisna spremenljivka y funkcija neodvisne spremenljivke x, in to zapišemo z




kjer je f predpis, f(x) pa vrednost te funkcije pri danem x.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Funkcija ali preslikava



Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz množice A, priredi natanko en element iz množice B. Grafično to lahko ponazorimo s puščičnim diagramom.


Funkcija preslika element a in množice A v element b iz množice B



O funkciji ne moremo govoriti, kadar:

  • predpis ne preslika vseh elementov iz množice A

  • kakšen element iz množice A se preslika v dva ali več elementov v množici B


Dogovorili se bomo za naslednje označevanje:

  • funkcije poimenujemo s črkami




  • zapis preberemo:


    Funkcija f preslikuje iz množice A v množico B.


  • zapis preberemo:


    Funkcija f elementu x iz množice A priredi element y iz množice B.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Definicijsko območje



Definicijsko območje je množica, na kateri je definirana funkcija. Elemente imenujemo tudi imenujemo original.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zaloga vrednosti



Zaloga vrednosti je množica vseh slik dane preslikave. Množica je lahko enaka množici, v katero prespis slika (navadno označena z B) ali pa je le njena podmnožica.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Predstavitev funkcije



Funkcijo lahko predstavimo na različne načine. Najbolj pogosto jo predstavimo s predpisom. V primeru da sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici, lahko funkcijo predstavimo s tabelo ali s puščičnim diagramom. Realne funkcije pa lahko predstavimo tudi z grafom.


Predpis funkcije



Funkcijo lahko podamo tako, da povemo kako funkcija originale spremninja v slike. To navedemo s predpisom:








Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tabeliranje funkcije



Funkcijo lahko podamo s tabelo v primeru, ko sta defincijsko območje in zaloga vrednosti končni množici. V prvo vrstico vnašamo vrednosti neodvisne spremenljivke, v drugo pa vrednosti odvisne spremenljivke.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če pa govorimo o realni funkciji realne spremenljivke, preslikave ne moremo v celoti podati s tabelo. S tabelo si lahko ponazorimo le nekatere vrednosti funkcijskega predpisa.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Puščični diagram



Najprej narišemo dva diagrama, s katerima ponazorimo množico A in množico B. S puščicami ponazorimo, kateri elementi množice A se preslikajo v elemente množice B.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Graf funkcije



Graf funkcije je v matematiki osnovni način za prikaz funkcije. Graf funkcije f je definiran kot množica urejenih parov (x,y), kjer prvi element x preteče celotno definicijsko območje funkcije, drugi element y pa je slika pripadajočega x: torej velja med komponentama zveza y = f(x). Matematično to zapišemo kot:




kar preberemo: gama je množica vseh parov (x, y), kjer je x element množice definicijskega območja , y pa preslikava elementa x, v skladu s predpisom f.


Urejene pare (x,y) lahko narišemo v koordinatnem sistemu. Ko je množica A končna (ima končno število elementov), tedaj vsakemu elementu (x, f(x)) pripada v koordinatnem sistemu točka, katere abscisa je x, ordinata y pa je njegova slika f(x).


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ničla funkcije in začetna vrednost



V naslednjih poglavjih se bomo naučili poiskati ničlo funkcije in njeno začetno vrednost.


Ničla funkcije



Ničla funkcije je tisto število x, pri katerem je vrednost funkcije f enaka 0. Graf funkcije seka abscisno os pri vrednosti spremenljivke x, pri kateri ima funcija vrednost nič. Če iščemo ničlo računsko, vrednost x poiščemo z nastavkom:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stopnja ničle



V linearni enačbi nastopa x na prvo potenco. Zaradi tega premici rečemo tudi, da je enačba prve stopnje; njeno ničlo imenujemo tudi enostavna ničla. Graf linearne funkcije seka abscisno os pod določenim neničelnim kotom.


Pri enačbah višjih stopenj - to so enačbe, kjer spremenljivka x nastopa v višjih potencah (glej poglavje polinom) - pa lahko govorimo tudi o stopnji ničle. Pravimo, da je ničla stopnje , če lahko enačbo zapišemo v obliki:




pri čemer je .


Če je n enak 2, 4, 6,... rečemo, da je ničla sode stopnje. Če je n enak 1, 3, 5, 7... rečemo, da je ničla lihe stopnje.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


V nadaljevanju si bomo ogledali obnašanje fukcije v sodih oz. lihih stopnjah funkcije.


Sode ničle



V sodih ničlah se graf polinoma abscisne osi le dotakne in je ne prečka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Lihe ničle



V ničlah lihe stopnje se graf polinoma zelo dobro prilega abscisni osi, jo pa tudi prečka.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Začetna vrednost



Začetna vrednost je točka, kjer graf seka ordinatno (y) os. Ker točka leži na ordinatni osi je njena abcisa enaka 0, ordinato pa izračunamo tako, da za vrednost x vstavimo 0:




Točka je zato oblike: .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Injektivnost, surjektivnost in bijektivnost



Injektivnost, surjektivnost in bijektivnost so lastnosti funkcije. Oglejmo si jih.


Injektivna funkcija



Funkcija je injektivna, če preslika različne originale v različne slike.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Injektivnost v grafu preverimo tako, da narišemo vzporednice k abscisni osi. V primeru, ko je funkcija injektivna, vsaka taka vzporednica seka graf le v eni točki. Če premica graf seka v dveh (ali več) točkah, potem funkcija ni injektivna.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Surjektivna funkcija



Funkcija je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici B. Z drugimi besedami to pomeni, če je vsak element iz množice B slika vsaj enemu elementu iz množice A.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Bijektivna funkcija



Če je funkcija injektivna in surjektivna hkrati, pravimo, da je funkcija bijektivna. Z drugimi besedami to pomeni, da je vsak element iz množice B slika natanko enega elementa iz množice A.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Barbara Toman