Prijava z e-naslovom
Prijava brez gesla
Če sta dve količini med seboj odvisni, zanju lahko zapišemo predpis, ki ga matematično imenujemo funkcija. Funkcijo lahko predstavimo na različne načine.
Dve količini sta lahko odvisni med seboj; pri tem eno imenujemo odvisna, drugo pa neodvisna spremenljivka:
odvisna spremenljivka: količina, ki je odvisna od druge količine; v matematiki jo označimo z 
.
neodvisna spremenljivka: količina, ki se lahko poljubno (neodvisno) spreminja; v matematiki jo označimo z 
.
Pravimo tudi, da je odvisna spremenljivka funkcija neodvisne spremenljivke , in to zapišemo z:
kjer je 
predpis, 
pa vrednost te funkcije pri danem .
Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu iz množice 
, priredi natanko en element iz množice 
. Grafično to lahko ponazorimo s puščičnim diagramom.
Funkcija preslika element 
iz množice v element 
iz množice
O funkciji ne moremo govoriti, kadar:
predpis ne preslika vseh elementov iz množice
kakšen element iz množice se preslika v dva ali več elementov v množici
Dogovorili se bomo za naslednje označevanje:
funkcije poimenujemo s črkami:
zapis 
preberemo:
Funkcija preslikuje iz množice v množico .
zapis 
preberemo:
Funkcija elementu iz množice priredi element iz množice .
Definicijsko območje 
je množica, na kateri je definirana funkcija. Elemente imenujemo tudi imenujemo original.
Zaloga vrednosti 
je množica vseh funkcijskih vrednosti . Množica je lahko enaka množici , v katero predpis slika ali pa je le njena podmnožica.
Funkcijo lahko predstavimo na različne načine. Najbolj pogosto jo predstavimo s predpisom. V primeru da sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici, lahko funkcijo predstavimo s tabelo ali s puščičnim diagramom. Realne funkcije pa lahko predstavimo tudi z grafom.
Funkcijo lahko podamo tako, da povemo kako funkcija originale spreminja v slike. To navedemo s predpisom:
Funkcijo lahko podamo s tabelo v primeru, ko sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici. V prvo vrstico vnašamo vrednosti neodvisne spremenljivke, v drugo pa vrednosti odvisne spremenljivke.
Če pa govorimo o realni funkciji realne spremenljivke, preslikave ne moremo v celoti podati s tabelo. S tabelo si lahko ponazorimo le nekatere vrednosti funkcijskega predpisa.
Najprej narišemo dva diagrama, s katerima ponazorimo množico in množico . S puščicami ponazorimo, kateri elementi množice se preslikajo v elemente množice .
Graf funkcije je v matematiki osnovni način za prikaz funkcije. Graf funkcije je definiran kot množica urejenih parov 
, kjer prvi element preteče celotno definicijsko območje funkcije, drugi element pa je slika pripadajočega . Torej velja med komponentama zveza . Matematično to zapišemo kot:
kar preberemo: gama je množica vseh parov 
, kjer je element množice definicijskega območja , pa preslikava elementa , v skladu s predpisom .
Urejene pare lahko narišemo v koordinatnem sistemu. Ko je množica končna (ima končno število elementov), tedaj vsakemu elementu 
pripada v koordinatnem sistemu točka, katere abscisa je , ordinata pa je njegova slika .
Če absciso točke 
vstavimo v funkcijski predpis in kot rezultat dobimo ordinato te točke, potem točka leži na grafu funkcije .
Če za točko in funkcijo velja
,
potem točka leži na grafu funkcije .
V naslednjih poglavjih se bomo naučili poiskati ničlo funkcije in njeno začetno vrednost.
Ničla funkcije je tisto število 
, pri katerem je vrednost funkcije enaka 0. V koordinatnem sistemu ničlo funkcije vidimo v tisti točki, kjer graf funkcije seka ali se dotakne osi .
Če računsko iščemo ničlo funkcije , potem vrednost poiščemo z nastavkom:
V linearni enačbi nastopa na prvo potenco. Zaradi tega premici rečemo tudi, da je enačba prve stopnje; njeno ničlo imenujemo tudi enostavna ničla. Graf linearne funkcije seka abscisno os pod določenim neničelnim kotom.
Začetna vrednost je točka, kjer graf seka ordinatno os. Ker točka leži na ordinatni osi je njena abscisa enaka 0, ordinato pa izračunamo tako, da za vrednost vstavimo 0:
Točka je zato oblike: 
.
Vrednost funkcije je na določenem intervalu neodvisne spremenljivke lahko pozitivna, negativna ali pa je njena vrednost enaka 0.
Interval neodvisne spremenljivke obsega tista števila , pri katerih je vrednost funkcije pozitivna, negativna ali enaka 0.
Za graf funkcije velja:
Na intervalu, kjer je vrednost funkcije večja od 0, se graf funkcije nahaja nad abscisno osjo.
Na intervalu, kjer je vrednost funkcije manjša od 0, se graf funkcije nahaja pod abscisno osjo.
V točkah, kjer je vrednost funkcije enaka 0, graf funkcije seka abscisno os.
Če ugotavljamo predznak funkcije računsko, vstavimo vrednost neodvisne spremenljivke v funkcijski zapis in pogledamo predznak rezultata.
Vrednost funkcije na določenem intervalu neodvisne spremenljivke lahko narašča, pada ali pa je njena vrednost konstanta.
Če se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in opazimo, da se povečuje tudi vrednost funkcije, potem funkcija narašča:
Če v določenem intervalu za vsak par neodvisnih spremenljivk 
in 
velja
je v tem intervalu funkcija naraščajoča.
Če se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in opazimo, da se vrednost funkcije zmanjšuje, potem funkcija pada:
Če v določenem intervalu za vsak par neodvisnih spremenljivk in velja
je v tem intervalu funkcija padajoča.
Če pa se po osi pomikamo v smeri večjih vrednosti in ne opazimo spremembe vrednosti funkcije , je funkcija konstantna:
Če v določenem intervalu za vsak par neodvisnih spremenljivk in velja
je v tem intervalu funkcija konstantna.
Za graf funkcije velja:
Na intervalu, kjer je vrednost funkcije narašča, se z večanjem neodvisne spremenljivke graf funkcije vzpenja glede na ordinatno os.
Na intervalu, kjer je vrednost funkcije pada, se z večanjem neodvisne spremenljivke graf funkcije spušča glede na ordinatno os.
V točkah, kjer je vrednost funkcije konstanta, je graf funkcije vodoraven oziroma vzporeden z abscisno osjo.
Računsko ugotavljanje intervala naraščanja in padanja presega nivo tega gradiva in se ga lotimo kasneje v gradivu Uporaba odvoda.
Funkcija je lahko omejena bodisi navzgor ali navzdol, lahko pa je tudi neomejena.
Če obstaja največja vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, je funkcija omejena navzgor:
Če za vse v definicijskem območju funkcije velja
je funkcija navzgor omejena.
Če obstaja najmanjša vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, je funkcija omejena navzdol:
Če za vse v definicijskem območju funkcije velja
je funkcija navzdol omejena.
Če ne obstaja niti najmanjša, niti največja vrednost funkcije v okviru definicijskega območja, funkcija ni omejena.
Za graf funkcije velja:
Graf navzgor omejene funkcije doseže najvišjo točko glede na ordinatno os.
Graf navzdol omejene funkcije doseže najnižjo točko glede na ordinatno os.
Če v funkcijo vstavimo poljubni nasprotni vrednosti neodvisne spremenljivke in dobimo v obeh primerih enako vrednost odvisne spremenljivke , je funkcija soda.
Funkcija je soda, če za vsak znotraj definicijskega območja funkcije velja 
Če v funkcijo vstavimo poljubni nasprotni vrednosti neodvisne spremenljivke in dobimo za rezultat nasprotni vrednosti odvisne spremenljivke , je funkcija soda.
Funkcija je liha, če za vsak znotraj definicijskega območja funkcije velja 
Računsko sodost in lihost določimo s preoblikovanjem predpisa funkcije.
Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinatno os.
Graf lihe funkcije je simetričen glede na koordinatno izhodišče.
Injektivnost, surjektivnost in bijektivnost so lastnosti funkcije. Oglejmo si jih.
Funkcija je injektivna, če preslika različne originale v različne slike.
Injektivnost v grafu preverimo tako, da narišemo vzporednice k abscisni osi. V primeru, ko je funkcija injektivna, vsaka taka vzporednica seka graf le v eni točki. Če premica graf seka v dveh (ali več) točkah, potem funkcija ni injektivna.
Funkcija je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici . Z drugimi besedami to pomeni, če je vsak element iz množice slika vsaj enemu elementu iz množice .
Če je funkcija injektivna in surjektivna hkrati, pravimo, da je funkcija bijektivna. Z drugimi besedami to pomeni, da je vsak element iz množice slika natanko enega elementa iz množice .
