Funkcije in njihove lastnosti

Če sta dve količini med seboj odvisni, zanju lahko zapišemo predpis, ki ga matematično imenujemo funkcija. Funkcijo lahko predstavimo na različne načine.

Dve količini sta lahko odvisni med seboj; pri tem eno imenujemo odvisna, drugo pa neodvisna spremenljivka:

Pravimo tudi, da je odvisna spremenljivka y funkcija neodvisne spremenljivke x, in to zapišemo z:

kjer je f predpis, f(x) pa vrednost te funkcije pri danem x.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz množice A, priredi natanko en element iz množice B. Grafično to lahko ponazorimo s puščičnim diagramom.

O funkciji ne moremo govoriti, kadar:

Dogovorili se bomo za naslednje označevanje:

Definicijsko območje je množica, na kateri je definirana funkcija. Elemente imenujemo tudi imenujemo original.

Zaloga vrednosti je množica vseh funkcijskih vrednosti . Množica je lahko enaka množici , v katero predpis slika ali pa je le njena podmnožica.

Funkcijo lahko predstavimo na različne načine. Najbolj pogosto jo predstavimo s predpisom. V primeru da sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici, lahko funkcijo predstavimo s tabelo ali s puščičnim diagramom. Realne funkcije pa lahko predstavimo tudi z grafom.

Funkcijo lahko podamo tako, da povemo kako funkcija originale spreminja v slike. To navedemo s predpisom:

Funkcijo lahko podamo s tabelo v primeru, ko sta definicijsko območje in zaloga vrednosti končni množici. V prvo vrstico vnašamo vrednosti neodvisne spremenljivke, v drugo pa vrednosti odvisne spremenljivke.

Če pa govorimo o realni funkciji realne spremenljivke, preslikave ne moremo v celoti podati s tabelo. S tabelo si lahko ponazorimo le nekatere vrednosti funkcijskega predpisa.

Najprej narišemo dva diagrama, s katerima ponazorimo množico A in množico B. S puščicami ponazorimo, kateri elementi množice A se preslikajo v elemente množice B.

Graf funkcije je v matematiki osnovni način za prikaz funkcije. Graf funkcije f je definiran kot množica urejenih parov (x,y), kjer prvi element x preteče celotno definicijsko območje funkcije, drugi element y pa je slika pripadajočega x: torej velja med komponentama zveza y = f(x). Matematično to zapišemo kot:

kar preberemo: gama je množica vseh parov (x, y), kjer je x element množice definicijskega območja , y pa preslikava elementa x, v skladu s predpisom f.

Urejene pare (x,y) lahko narišemo v koordinatnem sistemu. Ko je množica A končna (ima končno število elementov), tedaj vsakemu elementu (x, f(x)) pripada v koordinatnem sistemu točka, katere abscisa je x, ordinata y pa je njegova slika f(x).

V naslednjih poglavjih se bomo naučili poiskati ničlo funkcije in njeno začetno vrednost.

Ničla funkcije je tisto število x, pri katerem je vrednost funkcije f enaka 0. Graf funkcije seka abscisno os pri vrednosti spremenljivke x, pri kateri ima funkcija vrednost nič. Če iščemo ničlo računsko, vrednost x poiščemo z nastavkom:

V linearni enačbi nastopa x na prvo potenco. Zaradi tega premici rečemo tudi, da je enačba prve stopnje; njeno ničlo imenujemo tudi enostavna ničla. Graf linearne funkcije seka abscisno os pod določenim neničelnim kotom.

Pri enačbah višjih stopenj - to so enačbe, kjer spremenljivka x nastopa v višjih potencah (glej poglavje polinom) - pa lahko govorimo tudi o stopnji ničle. Pravimo, da je ničla stopnje , če lahko enačbo zapišemo v obliki:

pri čemer je .

Če je n enak 2, 4, 6,... rečemo, da je ničla sode stopnje. Če je n enak 1, 3, 5, 7... rečemo, da je ničla lihe stopnje.

V nadaljevanju si bomo ogledali obnašanje funkcije v sodih oz. lihih stopnjah funkcije.

V sodih ničlah se graf polinoma abscisne osi le dotakne in je ne prečka.

V ničlah lihe stopnje se graf polinoma zelo dobro prilega abscisni osi, jo pa tudi prečka.

Začetna vrednost je točka, kjer graf seka ordinatno (y) os. Ker točka leži na ordinatni osi je njena abscisa enaka 0, ordinato pa izračunamo tako, da za vrednost x vstavimo 0:

Točka je zato oblike: .

Injektivnost, surjektivnost in bijektivnost so lastnosti funkcije. Oglejmo si jih.

Funkcija je injektivna, če preslika različne originale v različne slike.

Injektivnost v grafu preverimo tako, da narišemo vzporednice k abscisni osi. V primeru, ko je funkcija injektivna, vsaka taka vzporednica seka graf le v eni točki. Če premica graf seka v dveh (ali več) točkah, potem funkcija ni injektivna.

Funkcija je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici B. Z drugimi besedami to pomeni, če je vsak element iz množice B slika vsaj enemu elementu iz množice A.

Če je funkcija injektivna in surjektivna hkrati, pravimo, da je funkcija bijektivna. Z drugimi besedami to pomeni, da je vsak element iz množice B slika natanko enega elementa iz množice A.