Funkciji tangens in kotangens fb
 

Funkciji tangens in kotangens




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Naj bo dan pravokotni trikotnik:


Pravokotni trikotnik; stranica b je priležna kotu α, stranica a pa nasprotiležna kotu α.



Funkciji tangens in kotangens v pravokotnem trikotniku povezujeta ostri kot in kateti trikotnika:


Funkcija tangens kota je definirana kot razmerje med nasprotiležno stranico (a) in priležno stranico (b):




Funkcija kotangens kota je definirana kot razmerje med priležno stranico (b) in nasprotiležno stranico (a):




Naslov


Graf funkcij tangens in kotangens



Narišimo funkciji tangens in kotangens na enotsko krožnico:


Funkciji tangens in kotangens na enotski krožnici



Vrednosti tangensa in kotangensa je z enotske krožnice nekoliko težje brati, zato si bomo za risanje pomagali z vrednostmi sinusa in kosinusa, ki jih že poznamo (tabelo bomo samo razširili in izračunali vrednosti od do ), nam bo veliko lažje narisati tangens in kotangens s pomočjo teh vrednosti.


Za izračun tangensa in kotangensa uporabimo formuli:







Vrednost kota α se izraža v radianih. To pomeni, da je vrednost π enaka 3.14159... in ne 180°.



Narišimo funkcijo tangens. Na x os vnašamo vrednosti kota α, na y os pa vrednost tangensa:


Graf tan x



Pri risanju funkcije tangens kot α nanašamo na x os. Zato, ko obravnavamo graf, namesto oznake α, uporabimo za kot oznako x.





Odčitavamo vrednosti iz tabele in jih primerjamo z grafom - vrednosti morajo biti enake:


  • Začnemo z odčitavanjem vrednosti v tabeli s kotom in dobimo vrednost .

  • naslednja vrednost α, ki jo obravnavamo, je enaka , preberemo vrednost .

  • nadaljujemo s kotom , preberemo vrednost tangensa .

  • pri kotu preberemo vrednost .

  • pri kotu preberemo vrednost tangensa .

  • ko je kot α enak , preberemo v tabeli vrednost funkcije tangens, ki je enaka .

  • ko kot α na enotski krožnici povečamo na , tangens doseže vrednost .

  • ko povečamo kot α na , odčitamo vrednost tangensa .

  • povečajmo kot α na , odčitamo vrednost tangensa , od tukaj naprej se začnejo vrednosti ponavljati, lahko zaključimo, da se tangens ponavlja na vsakih .


Naredili smo en krog po tabeli; če naredimo nov krog, se bodo vsi koraki ponovili. Očitno je, da se bo funkcija ponovila na razmikih .


je zato perioda funkcije.




Funkcija tangens je periodična s periodo . Na grafu lahko periodičnost / ponavljanje zlahka opazimo.



Graf cot x





Postopek se pri kotangensu ponovi - odčitavamo vrednosti iz tabele in jih primerjamo z grafom - vrednosti morajo biti enake.


  • Začnemo z odčitavanjem vrednosti v tabeli s kotom in dobimo vrednost .

  • Naslednja vrednost α, ki jo obravnavamo, je enaka , preberemo vrednost .

  • Nadaljujemo s kotom , preberemo vrednost kotangensa .

  • Pri kotu preberemo vrednost .

  • Pri kotu preberemo vrednost kotangensa .

  • Ko je kot α enak , preberemo v tabeli vrednost funkcije kotangens, ki je enaka .

  • Ko kot α na enotski krožnici povečamo na , kotangens doseže vrednost .

  • Ko povečamo kot α na , odčitamo vrednost kotangensa .

  • Povečajmo kot α na , odčitamo vrednost kotangensa 0 , od tukaj naprej se začnejo vrednosti ponavljati, lahko zaključimo, da se kotangens ponavlja na vsakih .



Naredili smo en krog po tabeli; če naredimo nov krog, se bodo vsi koraki ponovili. Očitno je, da se bo funkcija ponovila na razmikih .


je zato perioda funkcije.



Funkcija kotangens je periodična s periodo . Na grafu lahko periodičnost / ponavljanje zlahka opazimo.



Lastnosti funkcij tangensa in kotangensa



Lastnosti obeh funkcij najlažje odčitamo z grafa. V nadaljevanju bomo lastnosti, ki smo jih spoznali prek grafa, opisali še na matematični način.


Definicijsko območje in zaloga vrednosti funkcij tan x in cot x



V definicijsko območje spadajo vsi tisti x, ki jih lahko narišemo na graf in za te x-e funkcija obstaja.


Tangens in kotangens sta definirana kot ulomka (glej uvod v gradivo). Vemo, da ulomek ne more obstajati (ni definiran), če je imenovalec enak 0, torej bomo iz definicijskega območja izvzeli vse tiste vrednosti funkcij, pri katerih dobimo vrednost imenovalca 0. Te vrednosti imenujemo poli ali navpične asimptote.


V zalogo vrednosti spadajo vsi tisti y, ki se pojavijo na grafu.


Definicijsko območje in zaloga vrednosti tan x



Funkcija tangens je definirana kot




Tangens ima pole natančno takrat, ko je (ničle kosinusa), to pa je pri vsakem




Definicijsko območje funkcije tangens je celotna realna os x brez , oziroma:




Iz grafa tangens funkcije in v tabeli lahko opazimo, da je zaloga vrednosti .


Zaloga vrednosti funkcije tangens:




Definicijsko območje in zaloga vrednosti cot x



Funkcija kotangens je definirana kot




Kotangens ima pole natančno takrat, ko je (ničle sinusa), to pa je pri vsakem




Definicijsko območje funkcije kotangens je celotna realna os x brez .




V zalogo vrednosti spadajo vsi tisti y, ki se pojavijo na grafu. Iz grafa kotangens funkcije in v tabeli lahko opazimo, da je zaloga vrednosti .


Zaloga vrednosti funkcije kotangens:




Ničle funkcij tan x in cot x



Ničle funkcije so tiste točke, kjer funkcija seka x os.


Ničle tan x



Ničle tangensa dobimo pri vsakem večkratniku , oziroma, funkcija tangens ima vrednost nič za kote:




oziroma, drugače povedano:




Ničle tangensa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ničle cot x



Ničle kotangensa dobimo pri vsakem večkratniku (pri ničlah kosinusa).




oziroma, drugače povedano:




Ničle kotangensa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poli funkcij tangens in kotangens



Poli tan x



Pole tangensa dobimo pri vsakem večkratniku (pri ničlah kosinusa), oziroma, tangens pri teh vrednostih ne obstaja (ni definiran).




oziroma, drugače povedano:




Pole tangensa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Poli cot x



Pole kotangensa dobimo pri vsakem večkratniku (ničle sinusa):




oziroma, drugače povedano:




Pole kotangensa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Sodost in lihost funkcij tangens in kotangens



Funkcija je liha, če je simetrična glede na koordinatno izhodišče, oziroma:




Funkcija je soda, če je simetrična glede na y os:




Lihost tan x



Za funkcijo tangens velja:




kar lahko razberemo tudi z grafa (funkcija je simetrična glede na koordinatno izhodišče). Očitno je funkcija tangens liha.


Lihost cot x



Za funkcijo kotangens velja:




kar lahko razberemo tudi z grafa (funkcija je simetrična glede na koordinatno izhodišče). Očitno je funkcija kotangens liha.


Naraščanje in padanje funkcij tan x in cot x



Naraščanje tan x



Naraščanje tangensa je iz grafa zelo enostavno razbrati. Funkcija narašča na celotnem .


Padanje cot x



Tudi padanje kotangensa enostavno razberemo. Kotangens pada na celotnem .


Omejenost tan x in cot x



Zaloga vrednosti obeh funkcij nam pove, da sta funkciji neomejeni.



Periodičnost tan x in cot x



Funkciji tangens in kotangens sta periodični s periodo . Na grafu lahko periodičnost / ponavljanje zlahka opazimo.


Velja:


Funkcija tangens se na vsakih ponavlja.



in


Funkcija kotangens se na vsakih ponavlja.




Zveznost funkcij tangens in kotangens



Funkciji tangens in kotangens sta nezvezni. Na grafu se to razbere, kjer se ''pretrgata'' v polih.




glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.