Geometrijsko zaporedje fb
 

Geometrijsko zaporedje




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Zaporedje je geometrijsko, če je količnik dveh zaporednih členov konstanten oz. ko vsak naslednji člen zaporedja izračunamo tako, da prejšnjega pomnožimo z istim številom.


Splošni člen geometrijskega zaporedja



Zapišimo nekaj zaporednih členov geometrijskega zaporedja, pri čemer količnik dveh zaporednih členov označimo s k, prvi člen zaporedja pa z .




Zapišimo splošni člen geometrijskega zaporedja:


Obrazec za splošni člen geometrijskega zaporedja, kjer je , je:




Velja, da je splošni člen geometrijskega zaporedja eksponentna funkcija spremenljivke n.



Količnik geometrijskega zaporedja



Količnik dveh zaporednih členov imenujemo količnik geometrijskega zaporedja, označimo ga s k. Količnik je vedno konstanten.


Obrazec za količnik geometrijskega zaporedja, kjer je , je:




oziroma:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naraščanje/padanje geometrijskega zaporedja



Naraščanje in padanje geometrijskega zaporedja je odvisno od prvega člena in količnika zaporedja k.


Velja:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Geometrijska sredina



Vsak člen geometrijskega zaporedja s samimi pozitivnimi členi, z izjemo prvega, je enak geometrijski sredini svojih sosedov.


Geometrijska sredina poljubnih dveh pozitivnih števil a in b je število:





Geometrijska sredina dveh poljubnih simetrično ležečih členov zaporedja pa je člen:





Povezava med geometrijsko in aritmetično sredino



Geometrijska sredina dveh pozitivnih števil a in b je manjša ali enaka aritmetični sredini istih dveh števil:




Računski dokaz



Poglejmo kako lahko to dokažemo računsko. Vemo, da za poljubni števili a in b vedno velja naslednja trditev:




Za neenačbo (1) velja, da bo njena vrednost vedno pozitivna oziroma enaka 0 le, če velja . S pomočjo neenačbe (1) dokažimo povezavo med geometrijsko in aritmetično sredino:




Grafični dokaz



Poglejmo si še grafični dokaz. Pomagamo si z lastnostmi kota v polkrogu in višinskega izreka v pravokotnem trikotniku (glej Slika 1).


Nad daljico dolžine a + b narišemo polkrog in v polkrog vrišemo dva trikotnika. Zelo hitro lahko opazimo, da je aritmetična sredina a in b, ravno polmer kroga, ki je hkrati višina prvega trikotnika.


Kaj pa višina drugega trikotnika? Po višinskem izreku v pravokotnem trikotniku je višina na hipotenuzo - premer polkroga - enaka . To pa je ravno geometrijska sredina števil a in b.


Slika 1: očitno je, da je geometrijska sredina manjša od aritmetične in enaka le v primeru, ko sta števili a in b enaki.




Geometrijska interpolacija



Imejmo števili a in b in denimo, da želimo med ti dve števili vriniti m števil tako, da števila tvorijo končno geometrijsko zaporedje. Ta postopek imenujemo geometrijska interpolacija.


Z geometrijsko interpolacijo dobimo geometrijsko zaporedje, za katero velja, da je sestavljeno iz členov, prvi člen je enak a in zadnji člen je enak b.


Poiščimo obrazec za izračun količnika tako dobljenega geometrijskega zaporedja:





Obrazec za količnik geometrijskega zaporedja, ki ga dobimo s postopkom geometrijske interpolacije, ko med števili a in b vrinemo m števil, je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Inka Frolov