IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
Vse o naši iniciativi, s katero do konca šolskega leta podeljujemo razredom prost dostop do vseh OpenProf vsebin, lahko preberete tu.
 
 
Geometrijsko zaporedje fb
 

Geometrijsko zaporedje




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Zaporedje je geometrijsko, če je količnik dveh zaporednih členov konstanten oz. ko vsak naslednji člen zaporedja izračunamo tako, da prejšnjega pomnožimo z istim številom.


Splošni člen geometrijskega zaporedja



Zapišimo nekaj zaporednih členov geometrijskega zaporedja, pri čemer količnik dveh zaporednih členov označimo s k, prvi člen zaporedja pa z .




Zapišimo splošni člen geometrijskega zaporedja:


Obrazec za splošni člen geometrijskega zaporedja, kjer je , je:




Velja, da je splošni člen geometrijskega zaporedja eksponentna funkcija spremenljivke n.



Količnik geometrijskega zaporedja



Količnik dveh zaporednih členov imenujemo količnik geometrijskega zaporedja, označimo ga s k. Količnik je vedno konstanten.


Obrazec za količnik geometrijskega zaporedja, kjer je , je:




oziroma:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naraščanje/padanje geometrijskega zaporedja



Naraščanje in padanje geometrijskega zaporedja je odvisno od prvega člena in količnika zaporedja k.


Velja:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Geometrijska sredina



Vsak člen geometrijskega zaporedja s samimi pozitivnimi členi, z izjemo prvega, je enak geometrijski sredini svojih sosedov.


Geometrijska sredina poljubnih dveh pozitivnih števil a in b je število:





Geometrijska sredina dveh poljubnih simetrično ležečih členov zaporedja pa je člen:





Povezava med geometrijsko in aritmetično sredino



Geometrijska sredina dveh pozitivnih števil a in b je manjša ali enaka aritmetični sredini istih dveh števil:




Računski dokaz



Poglejmo kako lahko to dokažemo računsko. Vemo, da za poljubni števili a in b vedno velja naslednja trditev:




Za neenačbo (1) velja, da bo njena vrednost vedno pozitivna oziroma enaka 0 le, če velja . S pomočjo neenačbe (1) dokažimo povezavo med geometrijsko in aritmetično sredino:




Grafični dokaz



Poglejmo si še grafični dokaz. Pomagamo si z lastnostmi kota v polkrogu in višinskega izreka v pravokotnem trikotniku (glej Slika 1).


Nad daljico dolžine a + b narišemo polkrog in v polkrog vrišemo dva trikotnika. Zelo hitro lahko opazimo, da je aritmetična sredina a in b, ravno polmer kroga, ki je hkrati višina prvega trikotnika.


Kaj pa višina drugega trikotnika? Po višinskem izreku v pravokotnem trikotniku je višina na hipotenuzo - premer polkroga - enaka . To pa je ravno geometrijska sredina števil a in b.


Slika 1: očitno je, da je geometrijska sredina manjša od aritmetične in enaka le v primeru, ko sta števili a in b enaki.




Geometrijska interpolacija



Imejmo števili a in b in denimo, da želimo med ti dve števili vriniti m števil tako, da števila tvorijo končno geometrijsko zaporedje. Ta postopek imenujemo geometrijska interpolacija.


Z geometrijsko interpolacijo dobimo geometrijsko zaporedje, za katero velja, da je sestavljeno iz členov, prvi člen je enak a in zadnji člen je enak b.


Poiščimo obrazec za izračun količnika tako dobljenega geometrijskega zaporedja:





Obrazec za količnik geometrijskega zaporedja, ki ga dobimo s postopkom geometrijske interpolacije, ko med števili a in b vrinemo m števil, je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Inka Frolov