Graf racionalne funkcije fb
 

Graf racionalne funkcije




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Naj bosta in dva polinoma. Če je neničelni polinom, je kvocient teh dveh polinomov racionalna funkcija:




Ničle imenovalca imenujemo poli racionalne funkcije. V teh točkah racionalna funkcija ni definirana, definicijsko območje racionalne funkcije je zato množica realnih števil brez ničel imenovalca.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ničle in obnašanje grafa blizu ničel



Ničle racionalne funckije so ničle števca racionalne funkcije (kjer je enak ).


Ničle racionalne funkcije poiščemo z enačbo



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Blizu ničle se graf racionalne funkcije obnaša podobno kot graf polinoma v števcu, torej podobno kot polinom .


Če je ničla polinoma sode stopnje, se graf racionalne funkcije v tej ničli dotakne abscisne osi in zato ne spremeni predznaka.


Če je ničla polinoma lihe stopnje, graf racionalne funkcije v tej točke seka abscisno os in spremeni predznak.



Graf racionalne funkcije s sodo (levo) oziroma liho ničlo (desno).



Poli in obnašanje grafa blizu polov



Poli funkcije so ničle polinoma , tj. števca racionalne funkcije


Pole racionalne funkcije poiščemo z enačbo



V polih racionalna funkcija ni definirana, funkcija ima zato tam navpično asimptoto. Ko se približujemo polu, vrednosti funkcije ob asimptoti padajo ali rastejo pozitivno ali negativno v neskončnost.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pol sode (levo) oziroma lihe stopnje (desno) racionalne funkcije.



Če je pol sode stopnje (ničla polinoma je soda), funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni predznaka.


Če je pol lihe stopnje (ničla polinoma je liha), funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak.



Presečišče grafa racionalne funkcije z ordinatno osjo



Če graf racionalne funkcije nima pola v x = 0, potem seka ordinatno os v neki točki T(0, n).


Če zapišemo polinoma v naslednji obliki:






in , potem graf racionalne funkcije seka ordinatno os v:




Vrednost je začetna vrednost te racionalne funkcije. Točka, v kateri graf seka ordinatno os, pa je


Začetno vrednost funkcije poiščemo, tako da izračunamo .



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Obnašanje grafa racionalne funkcije daleč od izhodišča



Da bomo znali dovolj dobro narisati graf racionalne funkcije, poglejmo še kaj se dogaja z vrednostmi racionalne funkcije, ko gre čez vse meje. Videli bomo torej kako se obnaša racionalna funkcija daleč proč od izhodišča za zelo velike pozitivne (negativne) vrednosti .


Racionalna funkcija je kvocient dveh polinomov in . Vemo že, da se daleč od izhodišča (v neskončnosti) polinomi obnašajo kot vodilni člen tega polinoma.


Torej velja, da se vrednosti polinoma




v neskončnosti, torej ko gre proti obnašajo kot .


Vrednosti polinoma




pa se v neskončnosti približujejo .


Ker je racionalna funkcija kvocient dveh polinomov:




se v neskončnosti obnaša kot kvocient vodilnih členov:




Ločimo tri različne možnosti:

  • Stopnja števca je manjša od stopnje imenovalca .

  • Stopnja števca je večja od stopnje imenovalca .

  • Stopnja števca je večja od stopnje imenovalca .


Poglejmo si vsako možnost posebej!


Stopnja števca p(x) je manjša od stopnje imenovalca q(x) racionalne funkcije



Ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca racionalne funkcije, se funkcija v neskončnosti približuje vodoravni asimptoti , tj. abscisni osi.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stopnja števca p(x) je enaka stopnji imenovalca q(x) racionalne funkcije



Za polinoma






velja .


Poglejmo si kvocient teh dveh polinomov.



Vrednosti vseh členov




razen prostih členov in , gredo z naraščajočim proti .


Naj bosta dana dva polinoma enakih stopenj:






Graf racionalne funkcije se v tem primeru daleč proč od izhodišča približuje vodoravni asimptoti , tj. proti količniku vodilnih koeficientov.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stopnja števca p(x) je večja od stopnje imenovalca q(x)



V primeru, ko je stopnja števca višja od stopnje imenovalca racionalne funkcije, polinom delimo s polinomom


Kvocient bo polinom , ostanek pa polinom nižje stopnje od delitelja . Polinom zato lahko zapišemo takole:




Če delimo polinom s polinomom , pa dobimo naslednjo enačbo:




Graf racionalne funkcije




se daleč stran od izhodišča približuje krivulji , saj za velike gre vrednost kvocienta proti


Če je stopnja števca višja od stopnje imenovalca , potem polinom delimo s polinomom .


Kvocient teh dveh polinomov bo krivulja, kateri se bo graf racionalne funkcije približeval daleč stran od koordinatnega izhodišča.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Katja Prezelj