Hiperbola fb
 

Hiperbola




Zvonka Cencelj, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Domžale, Ljubljana.


Hiperbola je množica vseh točk v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlika razdalj od dveh danih točk in konstanta. Točki in imenujemo gorišči hiperbole.




Geometrijsko definicijo hiperbole lahko zapišemo kot:




Enačba hiperbole



Za enačbo hiperbole kot krivulje drugega reda je značilno, da sta kvadratna člena različno predznačena:




Enačba hiperbole v središčni legi z realno osjo na abscisni osi



Enačbo hiperbole bomo lažje razumeli s pomočjo skice, zato najprej narišimo skico tipične hiperbole:




V hiperboli (glej skico) nastopajo naslednji značilni elementi:














Gorišči hiperbole sta določeni z linearno ekscentričnostjo e (razberemo s skice):






povezanost linearne ekscentričnosti hiperbole e z realno polosjo a in imaginarno polosjo b lahko razberemo s skice:




Numerična ekscentričnost hiperbole je:




Temeni hiperbole pa sta točki (preberemo s skice):






Asimptoti sta dve sekajoči se premici katerim se veji hiperbole približujeta. Enačbi asimptot hiperbole sta:




Enačba hiperbole v segmentni obliki:




Enačba hiperbole v središčni legi z realno osjo na ordinatni osi



Za lažje razumevanje si narišimo skico hiperbole z realno osjo na ordinatni osi:




Značilni elementi hiperbole so na ordinatni osi:














Gorišči hiperbole sta določeni z linearno ekscentričnostjo e (razberemo s skice):






povezanost linearne ekscentričnosti hiperbole e z realno polosjo a in imaginarno polosjo b lahko razberemo s skice:




Numerična ekscentričnost hiperbole je:




Temeni hiperbole sta točki (razberemo s skice)






Enačbi asimptot hiperbole sta:




Enačba hiperbole v segmentni obliki:




Enačba hiperbole v splošni legi



Središče hiperbole je lahko tudi zunaj koordinatnega izhodišča npr. v točki . Narišimo hiperbolo s središčem :




Gorišči hiperbole sta točki in , kjer je e linearna ekscentričnost hiperbole:




Temeni hiperbole sta točki






Enačbi asimptot hiperbole sta:




Enačba hiperbole s središčem v točki :




Hiperbola in premica



Kadar iščemo presečišče med hiperbolo in premico rešujemo sistem njunih enačb:






Rešitev poiščemo tako, da y premice vstavimo v enačbo hiperbole. V splošnem poznamo tri rešitve:


  • Prva rešitev: tangenta


    Premica je tangenta, če ima sistem eno dvojno rešitev:




  • Druga rešitev: sekanta


    Če ima sistem dve različni rešitvi ali eno rešitev, ki ni dvojna je premica sekanta.




  • Tretja rešitev: brez skupnih točk


    Če sistem nima realnih rešitev, premica s hiperbolo nima skupnih točk.






glavni avtor in urednik gradiva: PROBI - inštrukcije, tečaji, priprava na maturo, Zvonka Cencelj s. p.