Hornerjev algoritem fb
 

Hornerjev algoritem




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Hornerjev algoritem je postopek, ki nam olajša izvajanje določenih operacij na polinomih. Te operacije so:

  • računanje vrednosti polinoma

  • deljenje danega polinoma z linearnim polinomom (linearno funkcijo)

  • iskanje ničel danega polinoma


Reševanje polinomov poteka tabelarično.


Računanje vrednosti polinoma za dano vrednost



Z uporabo Hornerjevega algoritma lahko lažje računamo vrednosti polinomov višjih stopenj brez zamujajočega računanja posameznih členov, ki privedejo do običajno velikih številk.


Najlažje bo, če si uporabo računanja pogledamo kar na konkretnem primeru.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri uporabi Hornerjevega algoritma za računanje s polinomi moramo biti pazljivi pri vpisovanju koeficientov v tabelo. V le-to spadajo tudi koeficienti, ki so enaki 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri računanju s Hornerjevi algoritmom moramo biti pazljivi tudi na negativni predznak posameznih členov polinoma.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Postopek reševanj polinomov s Hornerjevim algoritmom je enostaven a pazljivi moramo biti pri prepisovanju koeficientov v tabelo:

  • upoštevati moramo koeficiente, ki so enaki 0 in

  • upoštevati moramo negativne predznake koeficientov.



Deljenje polinoma z linearnim polinomom



Spomnimo se pravila za deljenje polinomov: polinom , stopnje m, nam da pri deljenju s polinomom , stopnje n, kvocient , stopnje (m - n) in ostanek , če velja




in je stopnja polinoma strogo manjša od stopnje delitelja .


Ko delimo polinom n-te stopnje s polinomom prve stopnje / linearnim polinomom, lahko slednje pravilo precej poenostavimo.


Deljenje polinoma z linearnim polinomom , je enako, kot če bi iskali rešitev polinoma pri .



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Dodatno pazljivi moramo biti, ko ima naš linearni polinom prosti člen s pozitivnim predznakom. V tem primeru računamo Hornerjev algoritem z negativnim številom.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Iskanje ničel polinoma s pomočjo Hornerjevega algoritma



Spomnimo se najprej pravila:


Ničla polinoma p(x) je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko x, za katero ima polinom vrednost 0.



V primeru Hornerjevega algoritma to pomeni, da ostanek, ki ga dobimo je enak 0. Oziroma, da je dani polinom p(x) deljiv z linearnim polinomom .


Polinom p(x), stopnje m, nam da pri deljenju s polinomom q(x), stopnje n, kvocient k(x), stopnje (m - n) in ostanek o(x):




Pri vrednostih x, kjer je ostanek o(x) = 0 ima polinom ničlo.



Potencialne ničle polinoma lahko najdemo med:

  • delitelji prostega člena

  • racionalna števila, ki števcu imajo delitelja prostega člena in v imenovalcu delitelja vodilnega člena


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


S Hornerjevim algoritmom preverimo primernost potencialnih ničel. Število ničel je enako ali manjše od stopnje polinoma. Če torej imamo polinom 3. stopnje, bo le-ta imel največ 3 ničle.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Ana ČEVDEK