Matura 2020, spomladanski rok, višji nivo fb
 

Integriranje racionalnih funkcij




Mateja Radkovič, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Celje, Črnomelj, Koper, Ljubljana, Maribor, Metlika, Novo mesto.

Skype Učitelj/ica omogoča inštrukcije tudi prek Skypa.


Racionalna funkcija je funkcija oblike:




kjer sta in polinoma.


Ko želimo takšno funkcijo integrirati, najprej preverimo stopnji polinomov v števcu in imenovalcu. Glede na stopnji števca in imenovalca v grobem ločimo primera, ko je:

  • stopnja števca večja ali enaka stopnji imenovalca

  • stopnja števca manjša od stopnje imenovalca.


Stopnja števca je večja ali enaka stopnji imenovalca



Racionalno funkcijo, kjer je števec višji ali enak imenovalcu racionalne funkcije, najprej uredimo tako, da števec delimo z imenovalcem. Postopek je popolnoma enak kot pri iskanju asimptote racionalne funkcije:




Preurejeno racionalno funkcijo integriramo:




Celi del integriramo z uporabo osnovnih pravil integriranja. Za racionalni del , ki ostane pri deljenju števca z imenovalcem pa velja, da je stopnja števca manjša od imenovalca. Takšno racionalno funkcijo integriramo na enega od načinov, opisanih v nadaljevanju.


Stopnja števca je nižja od stopnje imenovalca



Poglejmo nekaj različnih primerov takšne racionalne funkcije.


Števec je konstanten, v imenovalcu pa je polinom prve stopnje



Ker imamo imenovalec, ki ima stopnjo za 1 stopnjo nižjo od števca, v integral uvedemo novo spremenljivko in integriramo osnovni integral.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stopnja števca je nižja od stopnje imenovalca in imenovalec je možno razstaviti na linearne faktorje



Integrale, kjer imamo pod integralskim znakom racionalno funkcijo, za katero velja:

  • stopnja števca je nižja od stopnje imenovalca in

  • imenovalec je možno razstaviti na linearne faktorje,

rešujemo s pomočjo parcialnih (delnih) ulomkov.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Takšne funkcije običajno ne znamo integrirati neposredno s pomočjo osnovnih integralov. Zato moramo to funkcijo najprej razstaviti na parcialne ulomke, ki pa jih znamo integrirati.


Razcep na parcialne ulomke poteka v več korakih in si ga bomo ogledali na konkretnem primeru.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poglejmo še primer integracije funkcije .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Imenovalec je nerazcepen kvadratni polinom v obsegu števil, števec pa je konstanten



Najprej zapišemo nerazcepen kvadratni polinom v obliki popolnega kvadrata:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Števec je linearni polinom, imenovalec pa je nerazcepen kvadratni polinom



Integracije se lotimo tako, da iz imenovalca naredimo popolni kvadrat, uvedemo novo spremenljivko, potem pa vsak integral integriramo po eni izmed uveljavljenih metod.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.