Izjave in izjavne povezave fb
 

Izjave in izjavne povezave




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Izjave in izjavne povezave so glavni predmet proučevanja v logiki. Kaj pa pravzaprav je izjava?


Izjava je smiselni povedni stavek. Izjave so lahko:

  • pravilne in jim dodelimo vrednost p (kot pravilno) ali 1;

  • nepravilne in jim dodelimo vrednost n (kot nepravilno) ali 0.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poznamo dve vrsti izjav, in sicer

  • elementarne ali enostavne izjave

  • sestavljene izjave.


Elementarne ali enostavne izjave



Elementarne izjave ne moremo razstaviti na bolj enostavne.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Da je izjava sestavljena nam običajno pokažejo vezniki (in, ali) ali pa je kako drugače nakazano v stavku (glej podpoglavje sestavljene izjave).


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Sestavljene izjave



Sestavljene izjave zgradimo iz enostavnih izjav z uporabo izjavnih povezav. Izjavne povezave so neke vrste operatorji (kot + in - pri seštevanju števil) s katerimi povezujemo izjave.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Da ugotovimo ali je sestavljena izjava pravilna ali ne, moramo najprej ugotoviti vrednosti enostavnih izjav in pripadajočih izjavnih povezav.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Izjavne povezave so lahko:

  • enočlene ali

  • dvočlene


Enočlena povezava



Enočlena izjavna povezava je taka povezava, ki jo lahko uporabimo že na eni sami izjavi.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Negacija



Naj bo dana izjava A. Negacijo izjave A označimo z , zanjo pa velja:


  • NEGACIJA izjave A je izjava, ki trdi nasprotno kot izjava A.


  • Negacija negacije izjave je izjava sama:


  • Če je izjava pravilna, je nepravilna. Če pa je pravilna, je nepravilna. To ponazorimo s pravilnostno tabelo:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Dvočlene povezave



Dvočlene povezave so povezave, ki povezujejo po dve izjavi. Te so:

  • konjunkcija

  • disjunkcija

  • implikacija

  • ekvivalenca


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Konjunkcija



Konjunkcija je operacija, ki dve izjavi poveže z zvezo "in hkrati". Če sta dani izjavi A in B, matematično konjunkcijo označimo z .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naj bosta dani dve izjavi: A in B. Velja:


  • konjunkcija izjav A in B nastane tako, da obe izjavi povežemo z zvezo "in hkrati";


  • oznako beremo:

    • daljša verzija: "velja izjava A in hkrati velja izjava B"

    • krajša verzija: "A in hkrati B";


  • konjunkcija je pravilna samo takrat, kadar sta pravilni tako izjava A kot tudi izjava B. To ponazorimo s pravilnostno tabelo:



  • konjunkcija je komutativna in asociativna (podobno kot pri seštevanju in množenju naravnih števil):

    • komutativnost:




    • asociativnost:




Disjunkcija



Disjunkcija je operacija, ki dve izjavi poveže z zvezo "ali". Če sta dani izjavi A in B, matematično disjunkcijo označimo z .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naj bosta dani dve izjavi: A in B. Velja:


  • disjunkcija izjav A in B nastane tako, da obe izjavi povežemo z zvezo "ali";


  • oznako beremo:

    • daljša verzija: "velja izjava A ali izjava B"

    • krajša verzija: "A ali B";


  • če sta izjavi A in B nepravilni, je nepravilna tudi njuna disjunkcija, v preostalih primerih je pravilna. To ponazorimo s pravilnostno tabelo:



  • tudi disjunkcija je komutativna in asociativna:

    • komutativnost:




    • asociativnost:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Za konjunkcijo in disjunkcijo pa veljata še dva zakona:


Distributivnostni zakon






De Morganov zakon


Negacija konjunkcije izjav je disjunkcija negacij posameznih izjav:




Negacija disjunkcije izjav je konjunkcija negacij posameznih izjav:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Implikacija



Implikacija je operacija, ki dve izjavi poveže z zvezo "sledi". Če sta dani izjavi A in B, matematično implikacijo označimo z .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naj bosta dani dve izjavi: A in B. Velja:


  • implikacija izjav A in B nastane tako, da obe izjavi povežemo z zvezo "sledi";


  • oznako beremo:

    • daljša verzija: ''iz izjave A sledi izjava B''

    • krajša verzija: "iz A sledi B";


  • drug način branja implikacije: ''če velja izjava A, potem velja izjava B.''


  • izjava A je pogoj, izjava B pa posledica izjave A. Če je izjava A pravilna in je izjava B nepravilna (pogoj pravilen, posledica pa nepravilna) je nepravilna tudi implikacija, v preostalih primerih je pravilna. To ponazorimo s pravilnostno tabelo:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ekvivalenca



Ekvivalenca je operacija, ki dve izjavi poveže z zvezo "če in samo če". Če sta dani izjavi A in B, matematično ekvivalenco označimo z .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naj bosta dani dve izjavi: A in B. Velja:


  • ekvivalenca izjav A in B nastane tako, da obe izjavi povežemo z zvezo "če in samo če";


  • oznako beremo:

    • daljša verzija: ''izjava A velja, če in samo če velja izjava B.''

    • druga verzija: ''izjava A velja natanko tedaj, ko velja izjava B.''


  • če sta obe izjavi pravilni ali obe nepravilni je ekvivalenca izjav pravilna. Ekvivalenca je nepravilna, če imata izjavi različno vrednost (ena je pravilna druga nepravilna). To ponazorimo s pravilnostno tabelo:



  • V logiki enakovredni oziroma ekvivalentni izjavi pomenita eno in isto in ju lahko nadomestimo drugo z drugo. Zelo uporabna ekvivalenca pri nalogah z dokazovanjem je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Tavtologija



Sestavljeni izjavi, ki je pravilna pri vseh naborih vrednosti osnovnih izjav, pravimo tavtologija.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kontradikcija



Izjavi, ki je vedno neresnična ne glede na naravo delnih izjav, rečemo kontradikcija.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Prioritete izjavnih povezav



Kot pri računanju s števili (kjer ima množenje prednost pred seštevanjem), moramo tudi v izjavnem računu upoštevati vrstni red ''operacij'' oziroma prioriteto izjavnih povezav. Naštete so izjavne povezave od najvišje prioritete (1.) pa do najnižje prioritete (5.):

  • Negacija

  • Konjunkcija

  • Disjunkcija

  • Implikacija

  • Ekvivalenca


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če moramo zapored izvesti več enakih izjavnih povezav uporabimo pravilo združevanja od leve proti desni.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Tejine inštrukcije