Kompleksna števila fb
 

Kompleksna števila




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Kompleksna števila



Ko želimo koreniti negativno število, na primer , oziroma poiskati odgovor, katero število množeno samo s seboj da negativen rezultat, na primer, naletimo na težavo (očitno je, da niti 2 niti - 2 nista pravi odgovor). Odgovor lahko dobimo z uvedbo kompleksnih števil.



Imaginarna enota



Imaginarna enota i je definirana kot:





Pogosto se pojavlja napačna definicija imaginarne enote v obliki:




saj je kvadratni koren definiran le za nenegativna števila.



Da je oblika napačna, je razvidno iz naslednjega protislovnega primera:





Imaginarna enota i omogoča korenjenje negativnih števil. Poglejmo si to na konkretnem primeru:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Imaginarno število



Vsak kvadratni koren iz negativnega števila je torej mogoče napisati v obliki z imaginarno enoto:








itd....


Vsa dobljena števila imajo obliko:




Imenujemo jih imaginarna števila.



Kompleksno število



Kompleksno število je sestavljeno iz dveh delov: realnega in imaginarnega. V splošni obliki ga zapišemo ga kot vsoto:




kjer je:



Ko določamo imaginarno komponento kompleksnega števila popazimo, da jo pravilno določimo:


je imaginarna komponenta in ne


je imaginarna komponenta in ne .




Množica kompleksnih števíl torej predstavlja razširitev realnih števil , v kateri lahko korenimo tudi negativna števila:





Geometrijska ponazoritev kompleksnih števil



Ponazoritev kompleksnega števila



Kompleksna števila geometrijsko ponazorimo v kompleksni (Gaussovi) ravnini.


Osnova kompleksne ravnine je pravokotni koordinatni sistem. Na abscismi osi ponazorimo realna števila. Imenujemo jo realna os in jo ozačujemo z Re. Na ordinatni osi ponazorimo imaginarna števila. Imenujemo jo imaginarna os in jo označujemo z Im.


Kompleksno število z, ki je par realnega in imaginarnega števila, ponazorimo v kompleksni ravnini s točko, katere abscisa je po vrednosti enaka realni komponenti, ordinata pa imaginarni komponenti kompleksnega števila. Velja tudi obratno: vsaki točki kompleksne ravnine ustreza natanko eno kompleksno število.





Ponazoritev množice točk v kompleksni ravnini



Poglejmo nekaj množic točk v kompleksni ravnini, pri katerih koordinati in ustrezata kakšnim določenim pogojem:


Če je v pogoju znak ali je rešitev področje kompleksne ravnine vključno z njegovim robom (narisan s polno črto).


Če je v pogoju znak ali je rešitev področje kompleksne ravnine brez njegovega roba (narisan s črtkano črto).




  • Števila, katerih realni del je , ležijo na premici, ki je vzporedna imaginarni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih realni del je , ležijo na premici in desno od premice (zato premica narisana s polno črto), ki je vzporedna imaginarni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih realni del je , ležijo desno od premice (zato premica narisana s črtkano črto), ki je vzporedna imaginarni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih realni del je , ležijo na premici in levo od premice (zato premica narisana s polno črto), ki je vzporedna imaginarni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih realni del je , ležijo levo od premice (zato premica narisana s črtkano črto), ki je vzporedna imaginarni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :





  • Števila, katerih imaginarni del je , ležijo na premici, ki je vzporedna realni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :





  • Števila, katerih imaginarni del je , ležijo na premici in nad premico (zato premica narisana s polno črto), ki je vzporedna realni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih imaginarni del je , ležijo nad premico (zato premica narisana s polno črto), ki je vzporedna realni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih imaginarni del je , ležijo na premici in pod premico (zato premica narisana s polno črto), ki je vzporedna realni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih imaginarni del je , ležijo pod premico (zato premica narisana s črtkano črto), ki je vzporedna realni osi in gre skozi kompleksno število , se pravi točko :




  • Števila, katerih realni del ustreza pogoju , ležijo na premicah (zato sta premici narisani s polnima črtama) in ravninskem pasu med premicama, ki sta vzporedni imaginarni osi in gresta skozi kompleksni števili in , se pravi točki in :




  • Števila, katerih imaginarni del ustreza pogoju , ležijo na ravninskem pasu med premicama (zato sta premici narisani s črtkanima črtama), ki sta vzporedni realni osi in gresta skozi kompleksni števili in , se pravi točki in :




  • Števila, ki ustrezajo ustrezajo pogoju , se pravi, da je njihova imaginarna komponenta enaka realni komponenti, ležijo na simetrali lihih kvadrantov:


    Če namreč označimo realno komponento kot x, imaginarno pa kot y, lahko zgornji pogoj zapišemo kot y = x. To pa je enačba simetrale lihih kvadrantov.





  • Števila, ki ustrezajo ustrezajo pogoju , se pravi, da je njihova imaginarna komponenta večja od realne komponente, ležijo na simetrali (zato je simetrala narisana s polno črto) in nad simetralo lihih kvadrantov:






glavni avtor in urednik gradiva: Janez Mihelčič