Krožnica fb
 

Krožnica




Zvonka Cencelj, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Domžale, Ljubljana.


Krožnica je množica točk T v ravnini, ki so od središča S enako oddaljene. Matematično to lahko zapišemo kot:






Enačba krožnice v središčni legi



Narišimo krožnico s središčem in polmerom :




Točka leži na dani krožnici natanko takrat, ko je njena razdalja od izhodišča enaka r. Vidimo, da je polmer, ki ga iščemo, hipotenuza pravokotnega trikotnika s katetama x in y, zato velja Pitagorov izrek :




Točka leži na dani krožnici natanko takrat, ko njeni koordinati z in y zadoščata gornji enačbi. Če točka ne leži v prvem kvadrantu je dolžina katet pravokotnega trikotnika enaka in in zaradi kvadriranja dobimo enakovredno enačbo.


Enačba krožnice s središčem v koordinatnem izhodišču S(0, 0) in polmerom r je:




Enačba krožnice v splošni legi



Središče krožnice je lahko tudi zunaj koordinatnega izhodišča npr. v točki . Narišimo krožnico s središčem in polmerom r:




Točka leži na tej krožnici natanko takrat, ko je oziroma :




Enačba krožnice s središčem in polmerom je torej:




Enačba krožnice s središčem in polmerom r lahko zapišemo tudi v splošni obliki:




Enačba krožnice s središčem in polmerom r v splošni obliki je torej:




Medsebojna lega točke in krožnice



Točka in krožnica sta lahko v različnih medsebojnih legah:


Krožnico s središčem in polmerom



Vidimo, da točka leži na krožnici. Razdalja točke od središča krožnice . Kar lahko zapišemo tudi drugače:


Točka leži na krožnici s polmerom r središčem če velja:




Točka leži v notranjosti kroga. Razdalja točke od središča krožnice . Zato:


Točka leži v notranjosti kroga s polmerom r središčem če velja:




Točka leži v zunanjosti kroga. Razdalja točke od središča krožnice . Zato:


Točka leži v zunanjosti kroga s polmerom r središčem če velja:




Medsebojna lega premice in krožnice



Zanima nas presečišče krožnice in premice


Iz enačbe premice izrazimo eno spremenljivko:




To spremenljivko vstavimo v enačbo krožnice:







Mogoče so naslednje situacije:

  • v primeru




    ima kvadratna enačba dve realni rešitvi, zato imata premica in krožnica dve skupni točki.




  • v primeru




    ima kvadratna enačba eno realno rešitev, zato imata premica in krožnica eno skupno točko; premica je tangenta na krožnico.




  • v primeru




    nima ta kvadratna enačba nobenih realnih rešitev zato premica in krožnica nimata skupnih točk.






glavni avtor in urednik gradiva: PROBI - inštrukcije, tečaji, priprava na maturo, Zvonka Cencelj s. p.