Limita v neskončnosti fb
 

Limita v neskončnosti




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Z limito v neskončnosti opišemo obnašanje funkcij in njihovih grafov daleč proč od koordinatnega izhodišča, ko neodvisna spremenljvka raste prek vseh meja v pozitivno ali negativno smer.


Zapišemo jo kot:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Definicija



Za lažje razumevanje sledeče definicije se spomnimo:


  • Okolica točke.

    Okolica točke je odprt interval okoli s središčem v . Odprti interval imenujemo (epsilon) okolica števila . Širina tega intervala je odvisna od pozitivnega števila , ki je ponavadi zelo majhen.


  • Vrednost M

    Vrednost je realna vrednost, ki leži na -osi. Pri limiti v neskončnosti predstavlja mejo, čez katero vse funkcijske vrednosti ležijo v -okolici, ko se približuje vrednosti v neskončnosti.


Limita v neskončnosti se nahaja v točki , ko gre v neskočnost, če za vsak izbran najdemo tako realno število , da se vsi , ki so večji od , preslikajo v -okolico točke .


Velja, da




če za vsak obstaja tako realno število , da velja:


če je , je v -okolici točke .



Primer limite v neskončnosti




Limita v neskončnosti pri simetričnih grafih



Imejmo funkcijo . Če velja:




potem povsem enakovredno velja tudi:




Za limite v neskončnosti pri zrcalnih grafih ( in sta simetrična glede na y-os) velja:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Limita v neskončnosti racionalnih funkcij



V nadaljevanju se bomo osredotočili na racionalne funkcije, kjer je stopnja polinoma v števcu maksimalno za 1 večja od stopnje polinoma v imenovalcu. Ta pogoj postavljamo zato, ker se želimo omejiti na največ linearne asimptote.


V števcu polinom nižje stopnje kot v imenovalcu



Velja naslednje:


Graf funkcije se daleč proč od koordinatnega izhodišča približuje abscisni osi.


Iz tega sledi:




Polinoma v števcu in imenovalcu sta enake stopnje



Velja naslednje:


Graf funkcije se daleč proč od koordinatnega izhodišča približuje vodoravni asimptoti z enačbo:




kjer sta in vodilna koeficienta teh dveh polinomov.


Iz tega sledi:




Polinom v števcu je za ena višje stopnje kot v imenovalcu



Velja naslednje:


Vrednosti take racionalne funkcije rastejo prek vseh meja, ko gre v neskončnost. Graf se približuje poševni asimptoti.


Velja tudi, da večji kot je , manjša je razdalja med funkcijo in poševno asimptoto. Kar pomeni, da večji, ko je , manjša je razlika med vrednostjo racionalne funkcije in vrednostjo linearne funkcije , to je kvocienta števca in imenovalca.


Vrednost predstavlja v tem primeru enačbo poševne asimptote, ki jo dobimo na naslednji način:


Enačba poševne asimptote



Imejmo racionalno funkcijo oblike:




Za izračun poševne asimptote moramo zdeliti polinom v števcu - s polinomom v imenovalcu - . Dobimo:




Za ostanek vemo, da večji kot je , manjši je ta člen. Torej, ko gre v neskončnost gre ta člen proti nič.


Iz tega sledi, da je enačba poševne asimptote:





Z naraščanjem neodvisne spremenljivke postaja razlika med vrednostjo funkcije in kvocientom vse manjša, torej limitira proti nič:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Limita v neskončnosti eksponentnih funkcij



Spomnimo se oblike eksponentne funkcije:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vemo, da limita v neskončnosti v neki vrednosti a obstaja samo, kadar se funkcija z naraščanjem vrednosti x približuje tej vrednosti a, zato moramo biti pozorni na predznak neskončnosti v katero 'pošljemo' x. Iz tega sledi, da zgornja trditev velja le v primerih kadar je izpolnjen eden izmed naslednjih pogojev:


Za limito eksponentne funkcije velja




če oziroma




če




glavni avtor in urednik gradiva: Darja Zlodej