Nedoločeni integral
 

Nedoločeni integral




Zvonka Cencelj, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Domžale, Ljubljana.


Računanje nedoločenega integrala je obratna operacija od odvajanja - iz danega odvoda iščemo prvotno funkcijo. Nedoločeni integral funkcije f(x) označimo:




Funkcijo , ki jo dobimo z integriranjem, imenujemo primitivna funkcija. Ker je odvod konstante enak nič, prištejemo primitivni funkciji poljubno konstanto C - aditivno konstanto.


Tabela osnovnih nedoločenih integralov

































Osnovna pravila integriranja



Poglejmo osnovna pravila integriranja.


Integriranje vsote in razlike funkcij



Integral vsote oziroma razlike je enak vsoti oziroma razliki integralov.




Integriranje zmnožka konstante in funkcije



Konstanto pred funkcijo, ki jo integriramo, lahko zapišemo pred integralskim znakom.




Integriranje z uvedbo nove spremenljivke



Imejmo integral naslednjega tipa:




Integriranja se lotimo tako, da uvedemo novo spremenljivko:




Odvod nove spremenljivke je:



V naš začetni integral vstavimo novo spremenljivko:




Integral v obliki je velikokrat reševati enostavneje kot pa originalni zapis .


Integriranje po delih ali per partes



Pravilo največkrat uporabljamo pri integraciji produkta algebrske funkcije (npr. kvadratne, potenčne, polinomske, korenske,... funkcije) in transcendentne funkcije (npr. eksponentne, logaritemske, trigonometrične,... funkcije) ali pri produktu dveh transcendentnih funkcij.


Naj bosta in odvedljivi funkciji.


Odvajajmo njun produkt:



Z integriranjem po delih lahko v določenih situacijah pretvorimo prvoten integral v veliko bolj enostaven integral. Paziti pa moramo, da izberemo za tisti del integrala, ki se pri odvajanju poenostavi.


Za integriranje po delih uporabimo formulo:




Integriranje racionalnih funkcij



Če moramo integrirati racionalno funkcijo in integrala ne znamo izračunati na enega od zgoraj opisanih načinov, potem običajno poskušamo takšno funkcijo zapisati kot vsoto parcialnih ulomkov. Takšne ulomke pa lahko integriramo.




glavni avtor in urednik gradiva: PROBI - inštrukcije, tečaji, priprava na maturo, Zvonka Cencelj s. p.