Geometrijski elementi in razdalje v prostoru fb
 

Odnosi (relacije) med geometrijskimi elementi v prostoru za osnovno šolo




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Točke, premice in ravnine, ki se nahajajo v trirazsežnem prostoru, so lahko v različnih medsebojnih odnosih. Odnosi med njimi se nekoliko razlikujejo od tistih, ki smo jih spoznali v geometriji v ravnini.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


K razširjenem naboru odnosov med točkami in premicami bomo dodali še odnose z ravnino.


Odnosi med točkami v prostoru



Posamezne točke lahko zavzamejo poljubno mesto v prostoru. Za množice točk pa poznamo nekaj posebnih postavitev. Poglejmo si:

  • kolinearne točke,

  • nekolinearne točke,

  • komplanarne točke.


Kolinearne točke



Točke, ki ležijo na isti premici, so kolinearne:




Dve točki sta vedno kolinearni.



Nekolinearne točke



Če točke ne ležijo na isti premici, so nekolinearne:


Nekolinearne točke



Skozi nekolinearne točke ne moremo potegniti ene premice.



Skozi poljubne tri nekolinearne točke lahko narišemo ravnino:




Tri nekolinearne točke natanko določajo ravnino.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Komplanarne točke



Točke, ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne točke.


Komplanarne točke



Poljubne tri točke so vedno komplanarne (tudi če so kolinearne). Čez vse tri točke lahko položimo vsaj eno ravnino.



Odnosi med točko in premico v prostoru



Oglejmo si možne medsebojne lege točke in premice.


Točka leži na premici



Točka lahko leži na premici:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: točka A leži na premici p.



Simbol sicer pomeni "je element množice". Vsaka premica je namreč množica točk. V zgornjem primeru je točka A ena od točk premice p.



Točka ne leži na premici



Točka lahko leži izven premice:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: točka A ne leži na premici p.



Odnosi med premicama v prostoru



Po dve premici lahko ležita v različnih medsebojnih legah. Oglejmo si jih.


Premici sta vzporedni



V prostoru za vzporedni premici veljata dve pravili (pogoja):


  • premici nimata nobene skupne točke


    Vzporedni premici nimata skupne točke



  • skozi premici lahko potegnemo eno ravnino


    Vzporedni premici ležita na isti ravnini



Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: premica p je vzporedna s premico q.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Premici se sekata



Premici, ki se sekata, imata natanko eno skupno točko, ki jo imenujemo presečišče:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: presek premic p in q je točka M.



Premici se sekata pravokotno



Pravokotni premici predstavljata poseben primer presečišča premic. Sekata se namreč tako, da oklepata pravi kot (90° v stopinjah oziroma v radianih):


Pravokotni premici



Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot:




in preberemo: premica p je pravokotna na premico q.



Premici sta mimobežni



Za mimobežni premici veljata dve pravili (pogoja):

  • premici nimata skupne točke in

  • skozi premici ne moremo potegniti ene ravnine.


Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: premici p in q nimata skupne točke.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Odnosi med točko in ravnino v prostoru



Oglejmo si možne medsebojne lege točke in ravnine.


Točka leži na ravnini





Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: točka A leži na ravnini



Točka ne leži na ravnini





Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: točka A ne leži na ravnini



Odnosi med premico in ravnino v prostoru



Sledijo možne medsebojne lege premice in ravnine.


Premica leži na ravnini



Skozi dve različni točki, ki ležita na ravnini, lahko narišemo natanko eno premico. Taka premica leži na ravnini:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: premica AB leži na ravnini . Premica in ravnina imata neskončno skupnih točk.



Simbol sicer pomeni "je podmnožica množice". Vsaka ravnina je namreč množica točk. Na zgornji sliki je premica podmnožica ravnine. Točke, ki ležijo na premici AB, ležijo hkrati tudi na ravnini .



Premica seka ravnino



Premica seka (prebada) ravnino natanko v eni točki. To točko imenujemo prebodišče:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: premica p seka ravnino v točki P.



Premica p in ravnina imata torej eno samo skupno točko P.


Premica seka ravnino pod pravim kotom



Premica lahko seka ravnino pod pravim kotom.


Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: premica p je pravokotna na ravnino .



Premica p je pravokotna na ravnino le, če velja, da je pravokotna na vsaj na dve premici ravnine, q in r:


Pravokotnica na ravnino



Skozi vsako točko na ravnini lahko narišemo natanko eno pravokotnico na ravnino. Vse pravokotnice na ravnino so med seboj vzporedne. Predstavljajo snop premic.


Na ravnini vedno obstajata vsaj dve premici, na kateri je pravokotnica na ravnino pravokotna.



Premica je vzporedna ravnini



Če premica in ravnina nimata nobene skupne točke, sta vzporedni:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot:




in preberemo: premica p je vzporedna z ravnino .


Velja, da premica p nima skupnih točk z ravnino :




Odnosi med ravninami v prostoru



Dve ali več ravnin lahko zavzamejo različne medsebojne lege. Oglejmo si jih.


Ravnini sta vzporedni



Ravnini sta vzporedni, če nimata skupnih točk:


Vzporedni ravnini



Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot:




in preberemo: Ravnina je vzporedna z ravnino .


Velja, da ravnini nimata skupnih točk:




Ravnini se sekata



Presečišče dveh ravnin, ki nista vzporedni, je vedno premica:




Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot




in preberemo: presečišče nevzporednih ravnin in je premica p.



Ravnini se sekata pravokotno



Ravnini se lahko sekata pod pravim kotom. Na drugi ravnini vedno obstaja premica, ki je pravokotna na vsaj dve premici iz prve ravnine:


Pravokotni ravnini



Relacijo z matematičnimi simboli zapišemo kot:




in preberemo: Ravnina je pravokotna na ravnino .


Velja:




Tri ravnine se sekajo



Presečišče treh ravnin je lahko:


  • Premica


    Presečišče treh ravnin v premici



  • Točka


    Presečišče treh ravnin v točki





glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.