Seštevanje in odštevanje vektorjev fb
 

Operacije z vektorji




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Vzporedni premik



Če točki A v prostoru priredimo točko A', tako da velja:




temu pravimo vzporedni premik (ali translacija) za vektor .


Velikost, smer in usmerjenost vzporednega premika ponazorimo z vektorjem, ki ga imenujemo vektor premika.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Seštevanje in odštevanje vektorjev



Seštevanje vektorjev



Naj bo in , kot kaže slika1.


Slika1: vektorja in



Pri seštevanju vektorjev upoštevamo Chaslesovo identiteto:




To grafično pomeni, da vektorja premaknemo tako, da leži končna točka prvega vektorja , v začetni točki drugega vektorja (točka B). Vektor, ki poteka od začetne točke prvega vektorja (točka A), do končne točke drugega vektorja (točka C), imenujemo vsota vektorjev in (glej slika2).


Slika2: vsota vektorjev in



V primeru, ko imata vektorja skupno začetno točko (glej slika3), si pri seštevanju pomagamo s paralelogramskim pravilom, tako da skozi končni točki narišemo vzporednice k vektorjema. Vsota je diagonala dobljenega paralelograma.


Slika3: paralelogramsko pravilo



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Lastnosti seštevanja vektorjev



Iz lastnosti seštevanja in odštevanja realnih števil izpeljemo naslednje lastnosti operacij z vektorji:


Asociativnostni zakon ali zakon o združevanju členov


Seštevanje vektorjev je asociativno:




velja za poljubne vektorje in .



Komutativnostni zakon ali zakon o zamenjavi členov


Seštevanje vektorjev je komutativno:




velja za poljubna vektorja in .



Enota za seštevanje ali ničelni vektor


Pri prištevanju vektorja se vektor ne spremeni.




velja za vsak vektor .



Inverz za seštevanje ali nasprotni vektor


Kadar vektorju prištejemo njegov nasprotni vektor, dobimo .




velja za vsak vektor .



Odštevanje vektorjev



Naj bo in , kot kaže slika4.


Slika4



Odštevanje vektorjev definiramo kot prištevanje nasprotnega vektorja:




To grafično pomeni, da vektorju najprej spremenimo usmerjenost in nato ga premaknemo tako, da leži končna točka prvega vektorja , v začetni točki drugega vektorja, vektorja . Vektor, ki poteka od začetne točke prvega vektorja, do končne točke drugega vektorja, imenujemo vsota vektorjev in oz. razlika vektorjev in (glej Slika5).


Slika5



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vektorska enačba



Vektorska enačba je enačba, v kateri kot neznanka nastopajo vektorji. rešujemo jih enako kot enačbe s številskimi spremenljivkami, torej neznan vektor prenesemo na eno stran in ga izrazimo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Množenje vektorja s skalarjem



Produkt vektorja z realnim številom , različnim od nič, je vektor , ki ima:

  • isto smer in usmerjenost kot vektor , če je

  • nasprotno usmerjenost kot vektor , če je

  • velikost




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Lastnosti množenja vektorja s skalarjem



Iz lastnosti seštevanja in odštevanja realnih števil izpeljemo naslednje lastnosti operacij z vektorji:


Asociativnostni zakon v skalarnem faktorju ali zakon o združevanju členov


Za poljubni realni števili k, l in poljuben vektor velja, da je množenje vektorjev s skalarjem asociativno:




Distributivnostni zakon v vektorskem faktorju


Za poljubno realno število k in poljubna vektorja velja, da je množenje vektorjev s skalarjem distributivno v vektorskem faktorju:




Distributivnostni zakon v skalarnem faktorju


Za poljubni realni števili k, l in poljuben vektor velja, da je množenje vektorjev s skalarjem distributivno v skalarnem faktorju:




Enota za množenje


Za vsak vektor velja, da se pri množenju vektorja s številom 1, vektor ne spremeni:




Enotski vektor


Enotski vektor vektorja () ima isto smer in usmerjenost kot vektor ter velikost 1:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: janja čeh