Parabola

Parabola je množica vseh točk T(x,y) v ravnini, ki so enako oddaljene od premice vodnice (v) in od točke F (gorišče).

Geometrijsko definicijo parabole lahko zapišemo kot:

Razdaljo med goriščem parabole (F) in premico vodnico imenujemo parameter parabole p.

Značile elemente parabole najlažje preberemo s pomočjo skice:

elementi, ki so na skici tudi označeni, pa so:

Parabola je krivulja drugega reda, zato tudi zanjo velja splošna enačba za krivulje drugega reda:

kjer sta in se enačba preoblikuje v:

Pravzaprav, kot bomo kasneje ugotovili tudi prek enačb, je prabola kvadratna funkcija, ki je preslikana prek simetrale lihih kvadrantov. To lahko vidimo tudi tako, če v splošni enačbi krivulje drugega reda postavimo ; dobimo nič drugega kot kvadratno enačbo:

Parabola s temenom v koordinatnem izhodišču, je parabola, ki ima teme v točki A(0,0).

Poglejmo si skico te parabole:

Kot smo povedali v uvodu, je parabola množica točk, ki zadošča enačbi:

Iz grafa lahko zelo očitno razberemo obe razdalji in sicer za velja:

za pa uporabimo navadno formulo za razdaljo med točkama:

Iz povedanega lahko že izpeljemo enačbo parabole.

Če prvo parabolo prezrcalimo čez y os, dobimo drugo obliko parabole. Poglejmo si skico te parabole:

Pri zrcaljenju čez y os, se x v svojo negativno vrednost: . Zapišimo enačbo preslikane parabole:

Odpravimo oklepaje in dobimo enačbo naše iskane parabole:

Če prvo parabolo zasukamo za kot , dobimo novo obliko parabole. V tem primeru je parabola graf kvadratne funkcije.

Izpeljimo enačbo parabole v tej legi s pomočjo uvodne definicije parabole, ki jo poznamo že iz uvoda:

Iz grafa lahko zelo očitno razberemo obe razdalji in sicer za velja:

za pa uporabimo navadno formulo za razdaljo med točkama:

Iz povedanega lahko že izpeljemo enačbo parabole.

Opazimo, da sta se x in y - v primerjavi z enačbo prve oblike parabole - zamenjala, kar se zgodi, ko slikamo funkcijo čez simetralo lihih kvadrantov.

Če prvo parabolo zasukamo za kot , dobimo novo obliko parabole. Tudi v tem primeru je parabola graf kvadratne funkcije.

Opazimo, da je v tem primeru parabola enaka, kot če bi tretjo obliko parabole preslikali čez y os oziroma, če se . Zapišemo enačbo preslikane parabole:

Odpravimo oklepaje in dobimo enačbo naše iskane parabole:

V primeru da parabolo premaknemo in sicer vsak za in vsak za :

dobimo parabolo v premaknjeni legi.

Elementi, ki so na skici tudi označeni, so: