Izrazi s potencami
 

Potence za osnovno šolo




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Podobno, kot je množenje krajši zapis seštevanja, je potenca krajši zapis množenja enega števila.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


V zapisu s potenco vidimo katero število imamo in kolikokrat ga množimo s samim sabo.


Potenca števila in spremenljivke



Množenje več enakih števil lahko zapišemo kot potenco.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Potenca je sestavljena iz dveh delov: osnove in stopnje. Zapišemo jo na naslednji način:




Osnova nam pove, katero število množimo samo s seboj, stopnja pa nam pove, koliko enakih števil množimo. Stopnjo imenujemo tudi eksponent.


Poleg števil lahko potenciramo tudi spremenljivke.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Števila in spremenljivke bomo pri potenciranju poimenovali s skupno besedo faktorji.


Osnova potence je faktor, ki ga množimo samega s seboj.


Stopnja ali eksponent potence je število faktorjev, ki jih množimo med seboj.



Tako osnova kot stopnja potence sta lahko tudi negativni števili.


Negativna osnova potence



Če je osnova potence negativna, jo zapišemo v oklepaj.


Spomnimo se, da ko množimo dve negativni števili, je rezultat pozitiven. Podobno je rezultat:

  • pozitiven vedno, ko med sabo množimo sodo mnogo negativnih števil,

  • negativen vedno, ko med sabo množimo liho mnogo negativnih števil.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ugotovitev iz primera lahko posplošimo.


Če ima potenca z negativno osnovo liho stopnjo, potem je vrednost potence negativna.


Če ima potenca z negativno osnovo sodo stopnjo, je vrednost potence pozitivna.



Produkt in količnik potenc z enakimi osnovami



Povedali smo, da potenca predstavlja množenje več enakih števil med seboj. Če potenciramo celoten produkt ali količnik, potem to pomeni, da med seboj zmnožimo enake produkte oziroma količnike.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri množenju potenc z enakimi osnovami osnovo prepišemo, stopnje pa seštejemo:




Pri deljenju potenc z enakimi osnovami osnovo prepišemo, stopnji pa odštejemo:




Oglejmo si še potenco s stopnjo 0. Zato izberimo primer deljenja enakih potenc - tako se bodo eksponenti odšteli v 0.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Gornji primer lahko posplošimo za poljubno osnovo, različno od 0.


Če poljubno neničelno število potenciramo z eksponentom 0, dobimo 1:




Negativna stopnja potence



Potenca ima lahko tudi negativno stopnjo. V tem primeru minus v eksponentu razumemo tako, da potenciramo obratno vrednost osnove.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kadar je stopnja potence negativna, potem vzamemo obratno vrednost osnove in to na pozitivno potenco.


Poglejmo potenco . Obratna vrednost od osnove 2 je ulomek , zato lahko zapišemo:




Poglejmo si gornjo enakost še v drugo smer.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Potenco z negativno stopnjo zapišemo kot ulomek, v katerem je števec enak 1, imenovalec pa :




Produkt in količnik potenc z enako stopnjo



Ko množimo potenci z enakima stopnjama, osnovi pomnožimo, stopnjo pa prepišemo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri deljenju potenc z enakima stopnjama osnovi delimo, stopnjo pa prepišemo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri množenju potenc z enakima stopnjama osnovi pomnožimo, stopnjo pa prepišemo:




Pri deljenju potenc z enakima stopnjama osnovi delimo, stopnjo pa prepišemo:




Potenciranje produkta in količnika



Produkt potenciramo tako, da potenciramo vse faktorje, ki nastopajo v produktu.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Količnik potenciramo tako, da potenciramo posebej deljenec in posebej delitelj.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Produkt potenciramo tako, da potenciramo vse faktorje, ki nastopajo v produktu:




Količnik potenciramo tako, da potenciramo posebej deljenec in posebej delitelj:




Količnik je ulomek, zato velja tudi naslednja trditev:


Ulomek potenciramo tako, da posebej potenciramo števec in imenovalec:




Potenciranje potenc



Potence lahko tudi potenciramo. Pri potenciranju potenc osnovo prepišemo, stopnji pa pomnožimo.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pri potenciranju potenc osnovo prepišemo, stopnji pa pomnožimo:




Izrazi s potencami



Do sedaj smo se naučili, da ima v računskih izrazih množenje in deljenje prednost pred seštevanjem in odštevanjem. Potence pa prevzamejo prednost pred vsemi štirimi operacijami.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če v izrazu ni oklepajev, računamo po naslednjem vrstnem redu:


  • potence

  • množenje in deljenje

  • seštevanje in odštevanje



Oklepaj ima ne glede na pomembnost posamezne računske operacije vedno prednost pred vsemi. Enako velja tudi v računskih izrazih s potencami.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če v izrazu nastopajo oklepaji, računamo po naslednjem vrstnem redu:


  • oklepaji

  • potence

  • množenje in deljenje

  • seštevanje in odštevanje



Kvadrat števila



Kvadriranje je potenciranje, pri katerem je stopnja potence vedno enaka 2.


Potenco števila s stopnjo 2 imenujemo kvadrat števila.



Lastnosti kvadriranja



Pri kvadriranju število pomnožimo samo s seboj, zato je ne glede na predznak števila rezultat vedno pozitiven.


Posebnost je število 0. Če tega zmnožimo samega s seboj, je rezultat enak 0.


Kvadrat števila, različnega od 0, je vedno pozitivno število.


Kvadrat števila 0 je enak 0.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kvadrat števila je enak kvadratu njegovega nasprotnega števila.



S pomočjo pravil za potenciranje si lahko poenostavimo tudi izračun kvadratnega korena:

  • celih števil, ki se končajo z ničlami in

  • decimalnih števil.


Postopka si oglejmo v naslednjih dveh primerih.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Naravno število, ki se konča z ničlami, kvadriramo tako, da:

  • zapišemo kvadrat tistega dela števila, ki nima ničel,

  • na desni strani dopišemo dvojno število ničel.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Decimalno število kvadriramo tako, da:

  • zapišemo kvadrat števila brez upoštevanja decimalne vejice,

  • nato pa decimalno vejico postavimo tako, da bo število decimalk dvojno glede na število, ki smo ga kvadrirali.




glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.