Računanje z ulomki

V tem gradivu si bomo pogledali osnovne računske operacije z ulomki. To so:

Nato pa si bomo ogledali še vse, kar lahko z ulomki počnemo pod pogojem, da ta ne spremeni svoje vrednosti. S tem imamo v mislih predvsem:

Vsako od zgoraj naštetih dejanj bomo obravnavali ločeno:

Princip seštevanja ulomkov razdelimo na dve točki, glede na imenovalec.

Za seštevanje ulomkov veljata naslednja dva zakona:

Komutativnost je zakon o zamenjavi. Torej dva ulomka sta komutativna kadar:

Asociativnost je zakon o združevanju. Seštevanje je asociativna operacija, torej velja:

Za odštevanje velja podobno kot za seštevanje. Torej bomo tudi tukaj razdelili na dve točki, ločeni glede na imenovalec.

Ulomka zmnožimo tako, da zmnožimo oba števca med sabo in oba imenovalca med sabo. Torej:

Za množenje ulomkov veljajo naslednji tri zakoni:

Komutativnost je zakon o zamenjavi. Torej množenje dveh ulomkov je komutativno kadar:

Asociativnost je zakon o združevanju. Množenje je asociativna operacija, torej velja:

Seštevanje in množenje ulomkov povezuje zakon o distributivnosti oziroma zakon o razčlenjevanju:

Da lahko definiramo deljenje ulomkov si moramo najprej pojasniti kaj je to obratna vrednost ulomka.

Obratna vrednost ulomka , pri čemer sta a in b neničeni, je ulomek .

Formalno to zapišemo kot:

Produkt danega in njemu obratnega ulomka je enak 1. Torej velja:

Sedaj lahko definiramo deljenje ulomkov kot:

Ulomek delimo z neničelnim ulomkom (c različen od 0) tako, da ulomek množimo z obratno vrednostjo ulomka :

Opomba: Deljenje lahko tudi zapišemo v obliki dvojnega ulomka:

Ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim neničelnim številom. Dobljeni ulomek predstavlja isto racionalno število kot prvotni. Torej:

Ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec delimo s poljubnim skupnim deliteljem teh dveh števil. Dobljeni ulomek predstavlja isto racionalno število kot prvotni.

Ulomek je okrajšan, če sta števec in imenovalec tuji števili. Vsak ulomek je ekvivalenten natanko enemu okrajšanemu ulomku s pozitivnim imenovalcem. Da ulomek okrajšamo, moramo preprosto deliti števec in imenovalec z njunim največjim skupnim deliteljem.