Racionalne enačbe in neenačbe

V poglavju o o grafu racionalne funkcije smo že spoznali racionalne funkcije in njihove lastnosti. Sedaj pa si bomo pogledali še v kakšnem razmerju sta lahko dve racionalni funkciji oz. dva grafa racionalnih funkcij.

Imejmo dve racionalni funkciji:

Ko obravnavamo dve racionalni funkciji, nas zanima:

Naj bosta dani dve racionalni enačbi:

kjer so polinomi in , . Če želimo poiskati presečišče obeh racionalnih enačb, enačimo ordinati:

oziroma, če obe funkciji izpišemo:

Takemu iskanju presečišč rečemo reševanje racionalne enačbe.

Iščemo torej ustrezne , za katere velja zgornja enakost. To storimo tako, da enačbo preoblikujemo:

Ulomek ima vrednost , kadar je števec enak , imenovalec pa različen od .

Iščemo torej rešitve enačbe:

Pri iskanju rešitev pa moramo paziti, da rešitve ne sovpadejo z rešitvami enačbe:

Rešitve slednje enačbe so nedovoljene oziroma prepovedane rešitve in jih v končni rešitvi ne smemo upoštevati.

Naj bosta dani dve racionalni funkciji,

kjer so polinomi in , .

Ko iščemo vrednost , za katere je racionalna funkcija pod racionalno funkcijo (vrednosti ordinate racionalne funkcije so manjše od vrednosti racionalne funkcije ), rešujemo racionalno neenačbo:

Oziroma, če obe funkciji izpišemo:

Takemu iskanju ustreznih rešitev rečemo reševanje racionalne neenačbe. Iščemo torej ustrezne , za katere velja zgornja neenakost.

Neenačbo preoblikujemo:

Da bomo dosegli zgornjo neenakost (da bo vrednost na levi strani manjša od ) mora biti eden izmed števca in imenovalca manjši od , drugi pa večji od . Poleg tega mora biti imenovalec obvezno različen od .

Velja ena izmed dveh možnosti. Prva možnost je:

druga možnost je:

Na povsem enak način, kot smo iskali rešitev za:

lahko iščemo rešitve še za naslednje neenačbe:

Poglejmo si vse kombinacije in njihove rešitve:

Neenačbe lahko rešujemo računsko ali grafično. Poglejmo si primer.