Razmerja količin fb
 

Razmerja količin




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Razmerje je primerjava količin po velikosti. Pove nam, kolikokrat je ena količina večja od druge.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zadeve si lahko poenostavimo, če razmerje izrazimo v matematični obliki. Če želimo primerjati količini a in b, to z razmerjem zapišemo:




K zapisu razmerja dodamo še številske vrednosti količin.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zapis razmerja



Naj bosta a in b velikosti dveh količin. V matematiki dve količini praviloma primerjamo tako, da zapišemo njun količnik v obliki deljenja ali pa ulomka:




Ta količnik imenujemo razmerje in ga beremo a proti b. Število a je prvi člen razmerja, število b je drugi člen razmerja.


V razmerju moramo obe količini izraziti z enakima merskima enotama.



Za skupno mersko enoto izberemo manjšo mersko enoto. Razmerje potem zapišemo samo s številoma, brez merskih enot.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poenostavitev razmerja



Razmerje količin a in b lahko zapišemo kot ulomek , zato za razmerja veljajo enake lastnosti kot za ulomke.


To pomeni, da moramo tudi razmerje poenostaviti, če je mogoče. Poenostavimo ga tako, da ga:

  • razširjamo

  • ali krajšamo.


Razmerje je poenostavljeno, ko sta števili a in b:

  • naravni števili

  • in tuji števili

Takrat je največji skupni delitelj števil a in b enak 1.



Poenostavljeno razmerje je povsem enako prvotnemu razmerju - le drugače je zapisano. To bomo videli v nadaljevnaju pri računanju količnika razmerja. Poglejmo si podrobneje, na kakšne načine lahko poenostavimo razmerje.


Razširjanje razmerja



Razmerje razširimo zato, da oba člena razmerja a in b pretvorimo v naravni števili.


Z razširjanjem v razmerju odpravljamo:

  • decimalna števila

  • ali ulomke.


Razmerje razširimo tako, da oba člena pomnožimo z enakim, od nič različnim številom.




Odpravljanje decimalnih števil v razmerju



Decimalna ševila v razmerju odpravimo tako, da razmerje pomnožimo z večkratnikom števila 10. S katerim, je odvisno od najnatančnejšega decimalnega mesta v razmerju:


  • z 10, če je najnatančneje decimalno mesto v razmerju desetina,


  • s 100, če je najnatančneje decimalno mesto v razmerju stotina,


  • s 1000, če je najnatančneje decimalno mesto v razmerju tisočina,


  • in tako dalje.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Odpravljanje ulomkov v razmerju



Ulomke v razmerju odpravimo tako, da razmerje pomnožimo z najmanjšim skupnim imenovalcem.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Krajšanje razmerja



Zaporedje krajšamo z namenom, da dobimo poenostavljeno razmerje, v katerem sta člena zaporedja tuji naravni števili (njun največji skupni delitelj je enak 1).


Razmerje krajšamo tako, da oba člena delimo z enakim, od nič različnim številom.




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Količnik razmerja in enakost razmerij



Če v razmerju nakazano deljenje tudi izračunamo, dobimo količnik razmerja, ki ga označimo s k.


Količnik razmerja k nam pove, da je prvi člen k-krat večji od drugega člena razmerja.



Takrat lako razmerje zapišemo v obliki:




Poglejmo si količnik razmerja v primeru.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poglejmo si še, kako ugotovimo, če sta dve razmerji enaki.


Lastnost razmerja je njegov količnik k. Če imata dve razmerji enak količnik, npr. 3, potem nam obe razmerji povesta isto stvar - da je prva količina 3-krat večja od druge. Taki razmerji sta torej enaki.


Dve razmerji sta enaki, kadar imata enak količnik razmerja k.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Sorazmerje



Sorazmerje označuje enakost dveh razmerij. Uporabimo ga za izračun neznane količine, če poznamo v kakšnem razmerju je z neko znano količino. Poglejmo si sorazmerje na konkretnem primeru.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kaj pa, če je primer zapletenjši? Potem moramo neznano količino izračunati.


Najprej si pogljemo, kako zapišemo sorazmerje. Če sta dve razmerji enaki, potem imata enak količnik k.






Takrat lahko zapišemo:




Dobili smo enačbo, ki jo imenujemo sorazmerje in jo beremo a proti b je kakor c proti d. Zdaj vidimo, zakaj je sorazmerje isto kot enakost dveh razmerij.


Števili a in d imenujemo zunanja člena, b in c pa notranja člena sorazmerja.


Zapis pomeni enakost ulomkov, zato lahko zapišemo:




S tem preprostim računom smo prišli do pomembnega pravila:


V poljubnem sorazmerju je produkt zunanjih členov enak produktu notranjih členov.



To pravilo uporabimo takrat, ko je eden od členov sorazmerja neznan in ga moramo izračunati.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Reševanje besedilnih nalog s podanim razmerjem



Pri poenostavljanju (natančneje pri razširjanju) razmerja smo spoznali, da se razmerje ne spremeni, če oba člena množimo z istim, od nič različnim številom.


Količini a in b, ki sta v razmerju, lahko zapišemo kot:




Če razmerje razširimo s poljubnim, od nič različnim številom x, dobimo povsem enako razmerje:




Gornji zapis lahko razumemo, da smo oba člena razmerja zapisali z neko enoto x. Pri tem pa ima:

  • prvi člen: število takih enot enako ,

  • drugi člen: število takih enot enako .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


V zgornjem primeru smo videli, kako lahko podano razmerje uporabimo za zapis podatkov v nalogi. Tak zapis količin nam omogoča reševanje besedilnih nalog, v katerih je podano razmerje.


Poglejmo si primer take naloge.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Janez Mihelčič