Uporaba logaritmov in eksponentne funkcije fb
 

Uporaba eksponentne funkcije in logaritma




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V tem poglavju bomo navedli nekaj primerov najpogostejše rabe eksponentne in logaritemske funkcije v praksi.


Uporaba eksponentne funkcije



V praksi se pojavljajo primeri, kjer neka količina eksponentno pada in primeri, kjer neka količina eksponentno narašča, zato bomo ločili:


  • eksponentno rast


  • eksponentno padanje


Primeri eksponentne rasti



Če se neka količina (denar, prebivalstvo ...) v enakih časovnih intervalih povečuje s konstantnim faktorjem, tako rast imenujemo eksponentna rast.



Obrestno obrestovanje



V vsakdanjem življenju se zelo pogosto srečamo s primeri, kot je naslednji.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Rast prebivalstva



Z eksponentno funkcijo lahko opišemo tudi rast prebivalstva, če vemo začetno število prebivalstva, ki jo označimo z , prirastek, ki ga označimo s k in število let za katero računamo spremembo, ki ga označimo s t.


Funkcijo potem lahko zapišemo kot:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primeri eksponentnega padanja



Kadar se neka količina (količina radioaktivnega elementa, spomin ... ) v enakih časovnih intervalih zmanjšuje s konstantnim faktorjem govorimo o eksponentnem padanju, ki ga opišemo z eksponentno funkcijo.



Radioaktivni razpad



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zmanjševanje števila jeder radioaktivnega elementa pa opišemo z enačbo:




kjer, je število jeder na začetku, število jeder po času t, pa čas, v katerem se število jeder zmanjša na polovico začetne vrednosti.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Arheologija



Starost organizma določajo z ugotavljanjem razpada radioaktivnega izotopa , ki se nahaja v tkivih živih organizmov. Ta s smrtjo organizma začne eksponentno razpadati:




kjer je t čas razpada, A pa začetna količina ogljika v organizmu.


Uporaba logaritemske funkcije



Richterjeva lestvica



Richterjeva lestvica za merjenje jakost potresnih sunkov je predstavljena v spodnji tabeli:



Richterjeva lestvica je podana z logaritemsko funkcijo:




kjer je jakost komaj zaznavnega potresa in jakost potresa, ki jo zazna seizmogram in jo izražamo z .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Glasnost v decibelih



Občutljivost ušesa za zvok je približno logaritemsko odvisna od jakosti zvoka, zato je glasnost zvoka (G) v decibelih podana z enačbo:




kjer je jakost zvoka in jakost zvoka, ki ga še komaj slišimo oziroma meja slišnosti.


Vrednosti glasnosti zvoka v dB so predstavljene na spodnji tabeli:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


PH faktor



Z merjenje kislosti oziroma bazičnosti v kemiji uporabljamo pH vrednost, ki jo izračunamo kot negativni desetiški logaritem oksonijevih ionov:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Logaritemski papir



V praksi moramo velikokrat množici točk v koordinatnem sistemu prirediti graf, ki se točkam najbolje prilega. Veliko lažje je množici točk v koordinatnem sistemu prirediti premico, kot pa na primer eksponentno krivuljo. Ker pa to v koordinatnem sistemu z linearnima skalama vedno ni mogoče, namesto linearne skale, uporabljamo logaritemsko skalo.


Logaritemsko skalo navadno uporabimo na ordinatni osi, na abscisni osi pa linearno merilo. Koordinatni sistem z opisanima skalama imenujemo logaritemski papir.



Kaj se z eksponentno funkcijo zgodi na logaritemskem papirju, si oglejmo na spodnjem primeru.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Opazimo, da je graf eksponentne funkcije na logaritemskem papirju premica. Ko na logaritemski papir vnašamo vrednosti za y, se te vrednosti logaritmirajo.


Poglejmo, kaj se na logaritemskem papirju zgodi še matematično. Naj ima naša eksponentna funkcija enačbo:



Dobljena enačba predstavlja enačbo premice, s smernim koeficientom in začetno vrednostjo , zato je graf eksponentne funkcije na logaritemskem papirju premica.




glavni avtor in urednik gradiva: Maja Brenčič