Valj fb
 

Valj za osnovno šolo




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Valj je geometrijsko telo, katerega površje je sestavljeno iz dveh okroglih ravnih ploskev ter oglate ukrivljene ploskve, ki obdaja prostor med njima. Okrogli ploskvi sta vedno vzporedni. Imenujemo ju osnovni ploskvi. Ukrivljena ploskev je stranska ploskev.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Valje delimo na dve veliki skupini:


  • pokončne - osnovni ploskvi ležita ena pod drugo,

  • poševne - osnovni ploskvi sta nekoliko zamaknjeni.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Lastnosti valja



Kot smo videli, poznamo pokončni in poševni valj, obema pa lahko pripišemo nekaj skupnih lastnosti.


Značilni elementi valja



Valj je okroglo geometrijsko telo, omejeno z dvema osnovnima ploskvama in plaščem:


Osnovni ploskvi prizme sta skladna in vzporedna kroga.


Plašč valja je kriva ploskev.



a) osnovna ploskev valja, b) plašč valja



Za valj so značilni naslednji elementi:


Osnovna roba valja sta krožnici, ki omejujeta osnovni ploskvi.


Os valja je premica, ki poteka skozi središči obeh osnovnih ploskev.


Višina valja je razdalja med ravninama, na katerih se nahajata osnovni ploskvi. Višina je daljica, ki je pravokotna na obe osnovni ploskvi.



Valj nima stranskih robov, saj osnovni ploskvi nimata oglišč.


Značilni elementi valja



Stranica valja je daljica s krajiščema na obeh osnovnih ploskvah, ki je vzporedna z osjo valja.



V uvodu smo videli, da razlikujemo pokončne in poševne valje. Poševni valji so prezahtevni za okvir osnovne šole, zato se bomo bomo v nadaljevanju osredotočili le na pokončne valje.


V nadaljevanju obravnavamo le pokončne valje.



Valj je pokončen, če je njegova os pravokotna na osnovno ploskev. Tako sta tudi stranici valja pravokotni na osnovno ploskev. Plašč pokončnega valja je pravokotnik. Ker je na osnovno ploskev pravokotna tudi višina, so višina in stranici valja med seboj vzporedni.


Za pokončen valj veljajo naslednje posebnosti:

  • plašč pokončnega valja je pravokotnik,

  • višina pokončne ga valja je vzporedna s stranicama valja,

  • Višina in stranici valja so med seboj skladne.



Omenjene posebnosti nam olajšajo računanje površine in prostornine piramide, ki ju bomo spoznali v nadaljevanju.


Površina pokončnega valja



Površina valja je seštevek ploščin vseh ploskev, ki omejujejo geometrijsko telo. Mejne ploskve valja so geometrijski liki, katerih ploščine že znamo izračunati. Vsak lik posebej se v celoti nahaja na eni sami ravnini, površina prizme pa je razporejena po več ravninah. Zato mejne ploskve prizme za lažjo predstavo in računanje razgrnemo na ravnino.


Mreža valja



Če mejne ploskve valja razgrnemo na ravnino, dobimo mrežo valja. Celotna mreža predstavlja sestavljen geometrijski lik.


Mreža valja



Mejne ploskve telesa, razgrnjene na ravnino, imenujemo mreža geometrijskega telesa.



Računanje površine prizme si lahko predstavljamo kot računanje ploščine sestavljenega geometrijskega lika. Pri tem najprej izračunamo ploščine posameznih delov lika, nato pa te ploščine seštejemo.


V osnovni šoli računamo le površine pokončnega valja.



Površina pokončnega valja



Zgradba valja nam omogoča, da si računanje površine nekoliko poenostavimo, saj sta osnovni ploskvi enako veliki. Pokončen valj pa ima še dodatno prednost pri računanju: njegov plašč je pravokotnik.


Osnovna ploskev valja je krog, zato lahko zapišemo:


Ploščina osnovne ploskve valja O je enaka ploščini kroga, ki predstavlja osnovno ploskev:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve valja.



Kot smo že povedali, ima plašč pokončnega valja obliko pravokotnika:


Plašč na mreži pokončnega valja



Izpeljimo enačbo za ploščino plašča pokončnega valja.


Pravokotnik ima eno stranico enako obsegu osnovne ploskve, druga pa je enaka višini valja, tako da za plašč valja lahko zapišemo:






Enačba za ploščino plašča pokončnega valja se glasi:




pri čemer je pl ploščina plašča, r polmer osnovne ploskve, v pa višina valja.



Valj ima eno samo stransko ploskev, ki je kar enaka njegovemu plašču.


Izpeljimo enačbo za površino pokončnega valja.


Površina valja je seštevek ploščin osnovnih ploskev in plašča:




Zapišimo:



Dobili smo enačbo za površino pokončnega valja.


Splošna enačba za površino valja se glasi:




pri čemer je P površina valja, r polmer osnovne ploskve, v pa višina valja.



Prostornina pokončnega valja



Prostornina valja je velikost prostora, ki ga valj zavzame.


Celotno prostornino valja opišemo tako, da osnovno ploskev premaknemo vzdolž višine. Za vsa telesa, ki jim opišemo prostornino po omenjenem postopku, izračunamo prostornino po spodnjem obrazcu:


Splošna enačba za izračun prostornine V valja se glasi:




pri čemer je O ploščina osnovne ploskve, v pa višina valja.



Izpeljimo še enačbo za prostornino pokončnega valja s splošno enačbo za prostornino valja:




Zapišimo:



Dobili smo enačbo za prostornino pokončnega valja.


Enačba za izračun prostornine pokončnega valja V se glasi:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve, v pa višina valja.



Osni presek pokončnega valja



Če pokončni valj prerežemo z ravnino, na kateri leži višina valja, dobimo pravokotnik, ki ga imenujemo osni presek valja:


Osni presek valja



Ena stranica pravokotnika predstavlja premer osnovne ploskve, druga pa stranico valja. Ker sta v pokončnem valju stranica in višina vzporedni in skladni, lahko zapišemo:


Osni presek pokončnega valja je pravokotnik.


Ena stranica pravokotnika v osnem preseku je enaka premeru osnovne ploskve, druga pa višini valja.



Zapišimo še enačbo za ploščino osnega preseka pokončnega valja:


Ploščina osnega preseka pokončnega valja se glasi:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve, v pa višina valja.



Vrste valjev



Valje razvrščamo glede na različne lastnosti, poznamo pa tudi nekaj posebnih primerov.


Pokončni in poševni valj



Kot smo spoznali že v uvodu, so valji lahko pokončni ali poševni. Izračuni za poševne valje so težji, zato jih boste podrobneje obravnavali v srednji šoli.


To gradivo podrobneje obravnava le pokončen valj.



Enakostranični valj



Enakostranični valj ima višino enako premeru osnovne ploskve:


Enakostranični valj v poševni projekciji



Površina


Izpeljimo enačbo za površino enakostraničnega valja.


Izhajamo iz splošne enačbe za površino valja:



Dobili smo enačbo za površino enakostraničnega valja.


Enačba za izračun površine enakostraničnega valja P se glasi:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve valja.



Prostornina


Izpeljimo še enačbo za prostornino enakostraničnega valja s splošno enačbo za prostornino valja:




Zapišimo:



Dobili smo enačbo za prostornino pokončnega valja.


Enačba za izračun prostornine pokončnega valja V se glasi:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve valja.



Osni presek


Osni presek enakostraničnega valja je kvadrat:


Osni presek enakostraničnega valja



Osni presek enakostraničnega valja je kvadrat.


Stranica kvadrata je enaka premeru osnovne ploskve oziroma višini valja.



Izpeljimo enačbo za ploščino osnega preseka enakostraničnega valja.


Izhajamo iz splošne enačbe za ploščino osnega preseka valja:



Dobili smo enačbo za ploščino osnega preseka enakostraničnega valja.


Ploščina osnega preseka enakostraničnega valja se glasi:




pri čemer je r polmer osnovne ploskve valja.




glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.