Vektorji v pravokotnem sistemu fb
 

Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Poljuben vektor v ravnini (prostoru) lahko na en sam način izrazimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev v ravnini (prostoru), pri čemer

  • bazo ravnine sestavljata dva poljubna neničelna in nevzporedna vektorja (ravnina je dvodimenzionalen prostor)

  • bazo prostora pa trije poljubni neničelni in nevzporedni vektorji (prostor je trodimenzionalen prostor).


Če vektorje rišemo v pravokotni koordinatni sistem v ravnini, bazna vektorja označimo z in kot kaže Slika1.


Slika1



Če je pravokotni koordinatni sistem podan v prostoru, bazne vektorje označimo z in kot kaže Slika2.


Slika2



Za bazne vektorje v ravnini in prostoru veljajo naslednje lastnosti:

  • so dolžine 1 enota (so enotski vektorji)

  • so paroma pravokotni

  • vektor ima enako smer kot os x, vektor ima enako smer kot os y in vektor ima enako smer kot os z, kot kažeta Slika1 in Sika2.


Bazo ravnine imenujemo standardna ortonormirana baza ravnine, ki jo sestavljata dva bazba vektorja in z naslednjimi komponentami:






Podobno bazo prostora imenujemo standardna ortonormirana baza prostora, sestavljajo pa jo trije bazni vektorji in z naslednjimi komponentami:








Krajevni vektorji



Vektorje v pravokotni koordinatni sistem v ravnini (ali prostoru) običajno rišemo tako, da za začetno točko izberemo kar izhodišče koordinatnega sistema. Takšne vektorje imenujemo krajevni vektorji.


Krajevni vektor točke A je vektor z začetno točko v koordinatnem izhodišču, njegova končna točka je pa kar točka A. Označimo ga z , njegove komponente pa so enake koordinatam točke A.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Računanje s komponentami vektorjev



Vsa pravila in formule, ki veljajo za vektorje z dvema komponentama, veljajo tudi za vektorje s tremi komponentami, torej za vektorje v pravokotnem koordinatnem sistemu v prostoru.



Seštevanje vektorjev podanih s komponentami



Vektor s komponentama in ter vektor s komponentama in , seštejemo tako, da seštejemo istoležne komponente.


Vektorja






seštejemo tako, da seštejemo njune komponente:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Množenje vektorjev podanih s komponentami



Vektor s komponentama in pomnožimo s številom (skalarjem) tako, da s tem številom (skalarjem) pomnožimo posamezno komponento vektorja.


Vektor




pomnožimo z realnim številom k tako, da z realnim številom k pomnožimo vsako od njegovih komponent:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Dolžina vektorja



Preden izpeljemo dolžino vektorja, se spomnimo Pitagorovega izreka, ki pravi, da je v pravokotnem trikotniku, kvadrat hipotenuze (c) enak vsoti kvadratov katet (a in b):




Sedaj v pravokotni koordinatni sistem v ravnini narišimo vektor z začetno točko v izhodišču, ter komponentama in kot kaže Slika3.


Slika3



Dolžina vektorja je ravno hipotenuza pravokotnega trikotnika, komponenti vektorja pa sta njegovi kateti.


Formula za izračun dolžine vektorja s komponentama in , izpeljana iz Pitagorovega izreka, se glasi:




oziroma, če izrazimo dolžino vektorja:




kjer sta prva komponenta vektorja (odsek na osi x), pa druga komponenta vektorja (odsek na osi y).



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Komponente vektorja s poljubno začetno in končno točko



Komponente vektorja s poljubno začetno točko A in poljubno končno točko B dobimo tako, da od krajevnega vektorja končne točke (ki ima komponente enake koordinatam točke B) odštejemo krajevni vektor začetne točke (katerega komponente so enake koordinatam točke A):


Dani sta poljubni točki A in B, ki ju določata krajevna vektorja in . Komponente vektorja izračunamo:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Krajevni vektor razpolovišča



Krajevni vektor točke S, ki je razpolovišče daljice AB je enak polovici vsote krajevnih vektorje in izračunamo .


Če je S razpolovišče daljice AB, potem je krajevni vektor enak:




Komponente krajevnega vektorja so hkrati koordinate točke S.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zapis poljubnega vektorja z baznimi vektorji



Zapis vektorja z baznimi vektorji v ravnini



Poljuben vektor




v ravnini lahko izrazimo z baznima vektorjema






na dva načina:


  • Poljubni vektor izražen z baznimi vektorji, prvi način


    Prvi način je, da prvo komponento vektorja pomnožimo z baznim vektorjem , drugo komponento pa z baznim vektorjem , kar pomeni, da vektor s komponentama (x,y) izrazimo kot:




  • Poljubni vektor izražen z baznimi vektorji, drugi način


    Drugi način pa je, da komponente vektorja razčlenimo do komponent baznih vektorjev, kar pomeni, da vektor s komponentama (x,y) izrazimo kot:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Zapis vektorja z baznimi vektorji v prostoru



Na podoben način poljuben vektor




v prostoru lahko izrazimo z baznimi vektorji








na dva načina:


  • Poljubni vektor izražen z baznimi vektorji, prvi način


    Prvi način je, da prvo komponento vektorja pomnožimo z baznim vektorjem , drugo komponento z baznim vektorjem in tretjo komponento z baznim vektorjem , kar pomeni, da vektor s komponentami (x,y,z) izrazimo kot:




  • Poljubni vektor izražen z baznimi vektorji, drugi način


    Drugi način pa je, da komponente vektorja razčlenimo do komponent baznih vektorjev, kar pomeni, da vektor s komponentama (x,y,z) izrazimo kot:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: janja čeh