IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
Vse o naši iniciativi, s katero do konca šolskega leta podeljujemo razredom prost dostop do vseh OpenProf vsebin, lahko preberete tu.
 
 
Zveznost funkcije fb
 

Zveznost funkcije




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Definicija zveznosti funkcije v točki



Funkcije si predstavljamo kot krivulje v ravnini, ki so lahko pretrgane ali nepretrgane. Kadar so nepretrgane, pravimo da je funkcija zvezna, če pa je krivulja v kakšni točki prekinjena, pravimo da je funkcija nezvezna.


Torej, intuitivno si lahko zveznost predstavljamo tako, da če začnemo na papir s svinčnikom risati funkcijo, je ta zagotovo zvezna vse dotlej, dokler svnčnika ne dvignemo stran od papirja.


Funkcija je v točki zvezna natanko takrat, ko je v točki definirana in ima limito:




Funkcija ima limito in je zvezna v




Obrat ne velja. Funkcija v ima lahko limito, vendar v ni zvezna.

Funkcija ima limito, ni pa zvezna v



Funkcija je zvezna na intervalu če je zvezna v vsaki točki tega intervala.



Leva limita



Če gremo z proti z leve strani, govorimo o levi limiti.


Oznaka za levo limito:


Število A je leva limita funkcije v točki če za vsak obstaja da za vsak iz sledi


Oznaka:




pomeni, da narašča k



Zgornjo matematično definicijo najlažje razložimo s pomočjo slike. Torej, poglejmo spodnjo sliko in opazujmo funkcijske vrednosti, ko se z leve približujemo Opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo Zato je leva limita v točki enaka


Leva limita: proti x se bližamo z leve strani



Desna limita



Če gremo z proti z desne strani, govorimo o desni limiti.


Oznaka za desno limito:


Število A je desna limita funkcije v točki če za vsak obstaja da za vsak iz sledi


Oznaka:




pomeni, da pada k



Tudi pri tej definiciji si pomagajmo s sliko. Sedaj opazujmo funkcijske vrednosti, ko se približujemo z desne. Opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo Zato je sedaj desna limita v točki enaka


Desna limita: proti x se bližamo z desne strani



Limita funkcije



Naj bo definirana v okolici točke . obstaja natanko tedaj, ko obstajata leva in desna limita in sta enaki:




Zvezna funkcija



Na zgornji sliki vidimo, da je funkcija zvezna, saj je za funkcija definirana. Če se približujemo k z desne ali leve opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo isti vrednosti (leva in desna limita sta enaki).


Točke nezveznosti



Do nezveznosti lahko pride pri prehodu iz ene funkcije v drugo.


Za primer nezveznosti si poglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:







Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.


Zvezne funkcije na vsem definicijskem območju



Nekatere zvezne funkcije, ki so zvezne na vsem definicijskem območju so:


Kostantna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Linearna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Kvadratna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Potenčna funkcija z naravnim eksponentom:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Polinomi:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Eksponentna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Logaritemska funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Sinusna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Kosinusna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Računanje limite



Če sta funkciji in zvezni funkciji v točki so njuna vsota (razlika) produkt in kvocient (če je ) tudi zvezne funkcije v točki in velja:










Lastnosti zveznih funkcij



- Zvezna funkcija, ki ni nikjer na zaprtem intervalu enaka 0, ima na vsem intervalu stalen predznak (je povsod pozitivna ali povsod negativna).


- Če je na krajiščih zaprtega intervala na katerem je zvezna, različno predznačena, ima na tem intervalu vsaj eno ničlo.


- Funkcija, ki je zvezna na zaprtem intervalu, je na njem omejena in zavzame svojo natančno zgornjo mejo in spodnjo mejo in vse vrednosti med njima.


- Če je funkcija naraščajoča in zvezna, je njena inverzna funkcija tudi zvezna in naraščajoča funkcija.




glavni avtor in urednik gradiva: Tejine inštrukcije