Zveznost funkcije fb
 

Zveznost funkcije




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Definicija zveznosti funkcije v točki



Funkcije si predstavljamo kot krivulje v ravnini, ki so lahko pretrgane ali nepretrgane. Kadar so nepretrgane, pravimo da je funkcija zvezna, če pa je krivulja v kakšni točki prekinjena, pravimo da je funkcija nezvezna.


Torej, intuitivno si lahko zveznost predstavljamo tako, da če začnemo na papir s svinčnikom risati funkcijo, je ta zagotovo zvezna vse dotlej, dokler svnčnika ne dvignemo stran od papirja.


Funkcija je v točki zvezna natanko takrat, ko je v točki definirana in ima limito:




Funkcija ima limito in je zvezna v




Obrat ne velja. Funkcija v ima lahko limito, vendar v ni zvezna.

Funkcija ima limito, ni pa zvezna v



Funkcija je zvezna na intervalu če je zvezna v vsaki točki tega intervala.



Leva limita



Če gremo z proti z leve strani, govorimo o levi limiti.


Oznaka za levo limito:


Število A je leva limita funkcije v točki če za vsak obstaja da za vsak iz sledi


Oznaka:




pomeni, da narašča k



Zgornjo matematično definicijo najlažje razložimo s pomočjo slike. Torej, poglejmo spodnjo sliko in opazujmo funkcijske vrednosti, ko se z leve približujemo Opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo Zato je leva limita v točki enaka


Leva limita: proti x se bližamo z leve strani



Desna limita



Če gremo z proti z desne strani, govorimo o desni limiti.


Oznaka za desno limito:


Število A je desna limita funkcije v točki če za vsak obstaja da za vsak iz sledi


Oznaka:




pomeni, da pada k



Tudi pri tej definiciji si pomagajmo s sliko. Sedaj opazujmo funkcijske vrednosti, ko se približujemo z desne. Opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo Zato je sedaj desna limita v točki enaka


Desna limita: proti x se bližamo z desne strani



Limita funkcije



Naj bo definirana v okolici točke . obstaja natanko tedaj, ko obstajata leva in desna limita in sta enaki:




Zvezna funkcija



Na zgornji sliki vidimo, da je funkcija zvezna, saj je za funkcija definirana. Če se približujemo k z desne ali leve opazimo, da se funkcijske vrednosti približujejo isti vrednosti (leva in desna limita sta enaki).


Točke nezveznosti



Do nezveznosti lahko pride pri prehodu iz ene funkcije v drugo.


Za primer nezveznosti si poglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:







Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.


Zvezne funkcije na vsem definicijskem območju



Nekatere zvezne funkcije, ki so zvezne na vsem definicijskem območju so:


Kostantna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Linearna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Kvadratna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Potenčna funkcija z naravnim eksponentom:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Polinomi:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Eksponentna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Logaritemska funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Sinusna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »




Kosinusna funkcija:

Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Računanje limite



Če sta funkciji in zvezni funkciji v točki so njuna vsota (razlika) produkt in kvocient (če je ) tudi zvezne funkcije v točki in velja:










Lastnosti zveznih funkcij



- Zvezna funkcija, ki ni nikjer na zaprtem intervalu enaka 0, ima na vsem intervalu stalen predznak (je povsod pozitivna ali povsod negativna).


- Če je na krajiščih zaprtega intervala na katerem je zvezna, različno predznačena, ima na tem intervalu vsaj eno ničlo.


- Funkcija, ki je zvezna na zaprtem intervalu, je na njem omejena in zavzame svojo natančno zgornjo mejo in spodnjo mejo in vse vrednosti med njima.


- Če je funkcija naraščajoča in zvezna, je njena inverzna funkcija tudi zvezna in naraščajoča funkcija.




glavni avtor in urednik gradiva: Tejine inštrukcije