Binomski izrek fb
 

Binomski izrek




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Z binomskim izrekom se srečamo že v osnovni šoli, ko spoznamo, da je:








Slednje imenujemo kvadrat dvočlenika. V 1. letniku srednje šole nato spoznamo še kub dvočlenika:




Naša želja je, da bi spoznali, kako na enostaven način izračunati dvočlenik na višjo potenco, torej splošno




To naredimo z binomskim izrekom.


Pascalov trikotnik



Poglejmo, kako bi koeficiente, ki nastopajo pri razvoju potence dvočlenika, kar se da hitro izračunali.


Izpolnimo spodnjo tabelo za določene vrednosti eksponenta:



Ko smo tabelo izpolnili, smo dobili v tretjem stolpcu števila zapisana v obliki trikotnika. Tak trikotnik imenujemo Pascalov trikotnik (opazimo, da je seštevek dveh sosednjih členov vedno enak členu, ki se nahaja med členoma v naslednji vrstici).


Binomski simbol



Pri kombinacijah smo se že srečali z binomskim simbolom, kar nam bo zagotovo v pomoč pri binomskem izreku.


Ponovimo, binomski simbol




kjer je n število vseh elementov med katerimi izbiramo, r pa število elementov s katerimi ustvarjamo različne kombinacije.


Z n označimo množico vseh elementov, ki so nam na razpolago, r pa nam pove število elementov, s katerimi sestavljamo različne kombinacije.


Binomski simbol zapišemo:




Lastnosti binomskega izreka



Pri binomskem izreku bomo uporabljali zapise binomskega simbola, zato bomo posebej pogledali nekatere lastnosti binomskega zapisa.


Ponovimo:



Vrednost binomskega izreka za r = 0



Vemo, da je in :










Vrednost binomskega izreka, ko je :




Vrednost binomskega izreka za r = 1



Vemo, da je in :










Vrednost binomskega izreka, ko je :




Vrednost binomskega izreka za r = n



Vemo, da je :










Vrednost binomskega izreka, ko je :




Enakost binomskih simbolov



Binomska simbola sta enaka, če je vsota , torej:




Dokaz:




Ker pri množenju velja zakon o zamenjavi, lahko vidimo, da sta leva in desna stran zapisa enaka. Pri pogoju torej velja:




Binomska simbola




sta enaka, kadar je vsota .


To lahko zapišemo tudi na naslednji način:




Aditivnost





Dokaz:




Izpeljava binomskega izreka



Poglejmo Pascalov trikotnik s koeficienti in z binomskimi simboli:



Če sedaj malo pogledamo to preglednico, vidimo, da n predstavlja določen eksponent, r pa poteka od 0 do n. Tako lahko zapišemo splošni binomski izrek za poljubno potenco:




Želimo izračunati




in pri tem si bomo pomagali z binomskim izrekom, ki se glasi:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Maja Plavčak