Določeni integral fb
 

Določeni integral




Zvonka Cencelj, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije matematike v naslednjih krajih: Domžale, Ljubljana.


Določen integral označimo kot:




kjer je spodnja meja in zgornja meja določenega integrala.


Določen integral se uporablja za izračun ploščine krivočrtnega lika, ki ga na izbranem intervalu omejujeta nenegativna zvezna funkcija in abscisna os.


Definicija določenega integrala



To poglavje je namenjeno učencem, ki jih zanima teoretično ozadje. Učenci, ki se želijo naučiti praktične uporabe določenega integrala, lahko to poglavje izpustijo.



V koordinatnem sistemu vzemimo lik, ki je omejen z abscisno osjo, grafom zvezne funkcije in premicama in .




Razdelimo interval na n podintervalov:




Širine podintervalov so:




Nad vsakim podintervalom izberemo na abscisni osi točko, tako da je in:




Narišemo pravokotnike z višino .




Produkt je ploščina pravokotnika označenega na zgornji sliki




Če seštejemo ploščine vseh pravokotnikov, dobimo približek za ploščino lika, ki ga omejuje funkcija ter premici in :




Tem ožji so pasovi, torej čim manjše so ploščine pravokotnikov, tem bolj se vsota ploščin približa ploščini krivočrtnega lika na intervalu . Natančna ploščina lika je vrednost limite:




Limito imenujemo določeni integral.


Določen integral funkcije na intervalu je limita vsote




ko gredo širine vseh delnih intervalov proti , število delilnih točk pa v neskončnost:




Število je spodnja meja, število pa zgornja meja določenega integrala.



Geometrijski pomen določenega integrala



V tem poglavju je nakazan geometrijski pomen nedoločenega integrala. Različni primeri računanja likov so obravnavani nekoliko kasneje.



Določen integral zvezne funkcije na intervalu je enak ploščini lika, omejenega s krivuljo in abscisno osjo na intervalu :


Vrednost določenega integrala je enaka ploščini obarvanega lika.



Določeni integral, oziroma ploščino označenaga lika, označimo z:




Zveza med določenim in nedoločenim integralom



Med nedoločenim in določenim integralom velja zveza, ki jo imenujemo Newton-Leibnizova formula ali osnovni izrek integralskega računa:


Če je funkcija zvezna na intervalu in je poljuben nedoločeni integral funkcije :




potem velja:




kar zapišemo tudi:




Določeni integral je razlika nedoločenih integralov na zgornji in spodnji meji.




V praksi to pomeni, da določeni integral funkcije na intervalu lahko torej izračunamo tako, da najprej integriramo . Dobimo funkcijo , ki je nedoločeni integral funkcije . Od vrednosti funkcije na zgornji meji odštejemo vrednost na spodnji meji .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Lastnosti določenega integrala



Določen integral vsote dveh funkcij je enak vsoti določenih integralov posameznih funkcij.





Če je odvedljiva funkcija na intervalu potem velja:





Naj bo . Tedaj velja:





Naj bo . Če določenemu integralu zamenjamo meji med seboj, integral spremeni predznak.





Če sta meji enaki, ima nedoločeni integral vrednost 0.





Konstantni faktor, s katerim je pomnožena funkcija pod integralskim znakom, lahko pišemo pred integralski znak:




Povprečna vrednost funkcije



Če je funkcija na intervalu zvezna, obstaja na tem intervalu vsaj ena točka , tako da je




Število imenujemo povprečna vrednost funkcije na izbranem intervalu.


Povprečna vrednost funkcije na intervalu je:




Uporaba določenega integrala



Računanje ploščine lika med grafom funkcije in abscisno osjo



Določen integral zvezne funkcije na intervalu je enak ploščini lika, omejenega s krivuljo in abscisno osjo na intervalu :


Vrednost določenega integrala je enaka ploščini obarvanega lika.



Določeni integral označimo z:




Imejmo primer, ko je funkcija na intervalu zvezna in povsod negativna :




Določeni integral




je zato tudi negativen in enak nasprotni vrednosti ploščine lika, omejenega z grafom funkcije ter premicama in :




Da bo izračunan določeni integral enak ploščini lika, funkcijo zapišemo z absolutno vrednostjo:




Imejmo primer, ko je funkcija na intervalu zvezna ter pozitivna in negativna:




Določeni integral




je enak razliki med ploščinami likov, ki ležijo nad abscisno osjo in ploščinami likov, ki ležijo pod abscisno osjo (liki so omejeni z grafom funkcije in abscisno osjo). Da bo izračunani določeni integral enak ploščini označenega lika, funkcijo zapišemo s pomočjo podintervalov:




Računanje ploščine lika med grafom dveh funkcij



Prav tako kot računanje ploščin likov, ki jih grafi oklepajo z osjo x, lahko računamo tudi ploščine likov, ki ležijo med dvema grafoma.


Naj bosta dani funkciji in :




Ploščino lika, ki ga določata grafa zveznih funkcij in na intervalu , kjer za vsak iz tega intervala velja , izračunamo kot:




Poglejmo si primer podrobneje.


Krivulji f(x) in g(x) ležita na intervalu [a,b] nad abscisno osjo



Naj bosta funkciji in zvezni na intervalu . Graf funkcije naj leži nad grafom funkcije za vsak iz tega intervala:




Izračunati želimo ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij in na intervalu :




Poglejmo najprej ploščino lika, ki ga omejujeta krivulja in abscisna os.




Na intervalu je ploščina lika med grafom funkcije in abscisno osjo, glede na geometrijski pomen določenega integrala enaka:




Podobno določimo ploščino lika med grafom funkcije in abscisno osjo.




Ploščina tega lika je tako:




Iščemo ploščino lika, ki se nahaja med obema krivuljama.




Iz slike je razvidno, da je ploščina lika med obema grafoma enaka:




Kar lahko zapišemo tudi drugače:




Krivulji f(x) in g(x) na intervalu [a,b] ne ležita nad abscisno osjo



Naj bosta dani funkciji in :




Če leži kateri od grafov funkcij in na integracijskem intervalu pod abscisno osjo, prištejemo obema funkcijama isto, dovolj veliko pozitivno konstanto , da oba grafa premaknemo nad abscisno os.




Tako dobimo funkciji in , pri tem pa se lik, katerega ploščino bi radi izračunali, ne spremeni (ostane skladen s prvotnim). Ploščino osenčenega lika tako lahko izračunamo:




Ploščina med grafom funkcije in abscisno osjo je:




Ploščina med grafom funkcije in abscisno osjo pa je:




Ploščino lika med obema grafoma lahko sedaj zapišemo:




Ob upoštevanju, da je integral vsote funkcij enak vsoti integralov funkcij, vidimo, da se v računu konstanta izniči in je ploščina osenčenega lika enaka:




Računanje prostornine rotacijskih teles



Če območje, ki ga omejujeta graf funkcije in os na intevralu zavrtimo za okoli abscisne osi, dobimo rotacijsko telo.


Funkcijo smo zavrteli za okoli abscisne osi.



Prostornino vrtenine, kjer funkcijo zavrtimo za okoli abscisne osi, izračunamo s pomočjo določenega integrala:





glavni avtor in urednik gradiva: PROBI - inštrukcije, tečaji, priprava na maturo, Zvonka Cencelj s. p.