Funkciji sinus in kosinus fb
 

Funkciji sinus in kosinus




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Naj bo dan pravokotni trikotnik:


Pravokotni trikotnik; stranica b je priležna kotu , stranica a pa nasprotiležna kotu α.



Funkciji sinus in kosinus v pravoktnem trikotniku povezujeta ostri kot in kateti trikotnika:


Funkcija sinus kota je definirana kot razmerje med nasprotiležno stranico (a) in hipotenuzo (c):




Funkcija kosinus kota je definirana kot razmerje med priležno stranico (b) in hipotenuzo (c):




V naslednjih poglavjih bomo spoznali, da sta funkciji sinus in kosinus enaki, s to razliko da sta zamaknjeni za natanko . Iz tega sledi, da bodo za zamaknjene tudi:

  • ničle

  • maksimumi

  • minimumi


Sinus, kosinus in Pitagorov izrek



Iz Pitagorovega izreka izpeljimo zvezo med sinusom in kosinusom. Pri tem po zgornji skici povzemimo oznake stranic pravokotnega trikotnika.




Pitagorov izrek izražen na enostki krožnici s funkcijama sinus in kosinus:




Vrednosti sinusa in kosinusa v enotski krožnici



Narišimo funkciji sinus in kosinus na enotsko krožnico:


Funkciji sinus in kosinus na enotski krožnici



Z risanjem funkcij na enotsko krožnico poenostavimo obravnavo obeh funkcij; vrednost hipotenuze c je enaka 1, s tem pa se nam enačbi za sinus in kosinus poenostavita v:







Vrednosti lahko ponazorimo na enotski krožnici:


Vrednosti sinusa in kosinusa v enotski krožnici




Narišimo funkciji sinus in kosinus. Na x os vnašamo vrednosti kota α, na y os pa vrednost sinusa


Vrednost kota α se izraža v radianih. To pomeni, da je vrednost π enaka 3.14159... in ne 180°.



Pri risanju sinusne funkcije kot α nanašamo na x os. Zato, ko obravnavamo graf, namesto oznake α, uporabimo za kot oznako x.



Grafa osnovnega sinusa in kosinusa



  • Graf osnovnega sinusa



  • Graf osnovnega kosinusa




Lastnostni funkcij sinus in kosinus



Definicijsko območje in zaloga vrednosti sin x in cos x



V definicijsko območje spadajo vsi tisti , ki jih lahko narišemo na graf. Tako za sinus in kosinus je definicijsko območje obeh funkcij celotna realna os oziroma: katerikoli kot si izberemo, za čisto vsakega bo funkcija obstajala.


Definicijsko območje funkcije sinus in kosinus je celotna realna množica:




V zalogo vrednosti spadajo vsi tisti y, ki se pojavijo na grafu. Iz grafa za sinus in kosinus na enotski krožnici lahko opazimo, da je zaloga vrednosti .


Zaloga vrednosti funkcije sinus in kosinus na enotski krožnici:




Zaloga vrednosti nam pove, da sta funkciji omejeni; funkciji na enotski krožnici sta omejeni med [-1, 1].


Ničle funkcij sinus in cosinus



Ničle funkcije so tiste točke, kjer funkcija seka x os.


Ničle funkcije sinus



Ničle sinusa dobimo pri vsakem večkratniku , oziroma, funkcija sinus ima vrednost nič za kote:




oziroma, drugače povedano:




Ničle sinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Ničle funkcije kosinus



Ničle kosinusa dobimo pri vsakem večkratniku , oziroma, kosinus ima vrednost nič za kote:




oziroma, drugače povedano:




Ničle kosinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Maksimumi in minimumi funkcij sinus in cosinus



Maksimumi funkcij sinus in kosinus so tiste točke, kjer funkcija doseže največjo vrednost na y osi. Minimumi pa tisti, kjer funkciji dosežeta najnižjo vrednost na y osi.


Maksimumi funkcije sinus



Maksimumi funkcije nastopajo (glej graf) pri:




Maksimume sinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Minimumi funkcije sinus



Minimumi funkcije nastopajo (glej graf) pri:




Minimume sinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Maksimumi funkcije kosinus



Maksimumi funkcije nastopajo (glej graf) pri:




Maksimume kosinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Minimumi funkcije kosinus



Minimumi funkcije nastopajo (glej graf) pri:




Minimume kosinusa dobimo z nastavkom:




Rešitev nastavka je:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Sodost in lihost sinusne in kosinusne funkcije



Funkcija je liha, če je simetrična glede na koordinatno izhodišče, oziroma:




Funkcija je soda, je simetrična glede na y os:




Sodost / lihost funkcije sinus



Za funkcijo sinus velja:




kar lahko preverimo tudi na grafu. Očitno je funkcija sinus liha.


Sodost / lihost funkcije kosinus



Za funkcijo kosinus velja:




kar lahko preverimo tudi na grafu. Očitno je funkcija kosinus soda.


Naraščanje in padanje sinusne in kosinusne fukcije



Naraščanje in padanje sinusa je iz grafa zelo enostavno razbrati:


  • sinus narašča do zelene črte oziroma od 0 pa do


  • sinus pada od zelene pa do modre črte oziroma od pa do


  • ter spet pada od modre črte naprej oziroma od pa do




Naraščanje in padanje kosinusa prav tako enostavno razberemo:


  • kosinus pada do zelene črte oziroma od 0 pa do


  • kosinus narašča od zelene naprej pa do




Periodičnost sinusne in kosinusne funkcije



Obe funkciji sta periodični s periodo . Vse vrednosti (razen ničel, ki se ponavljajo na vsakih ) se na enotski krožnici (ali grafu) ponovijo na vsakih .


Velja:




in




Zveznost sinusne in kosinusne funkcije



Funkciji sta zvezni na celotnem definicijskem območju, torej povsod. Oziroma povedano drugače, grafa funkcij se nikjer ne 'pretrgata'.




glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.