matematika fb
 

Konstruiranje osnovnih geometrijskih elementov



Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V vsakem koraku konstrukcije geometrijskega lika narišemo enega izmed osnovnih geometrijskih elementov:


Točka, premica, poltrak



Točko prostoročno narišemo kot piko, premico pa narišemo z ravnilom kot neskončno ravno črto (pri tem smo seveda omejeni z robovi lista):


Točka A in premica p



Premico lahko potegnemo skozi točko:


Premica p poteka skozi točko A



Točka A razdeli premico p na dva poltraka. Premica p predstavlja nosilko teh dveh poltrakov:


Poltraka h in k s skupnim izhodiščem A



Krožnica



Krožnico konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije točke. Edini podatek, ki ga potrebujemo za konstruiranje krožnice, je njen polmer.


1. korak


Prostoročno narišemo točko S. Točka S predstavlja središče krožnice.




2. korak


Krožnico narišemo s šestilom:

  • V šestilo vzamemo polmer krožnice r.

  • Šestilo zapičimo v točko S.

  • Zarišemo sklenjeno krivo črto okoli točke S:




Daljica



Daljico konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije točke in premice.


Edini podatek, ki ga potrebujemo za konstruiranje daljice, je njena dolžina.


1. korak


Prostoročno narišemo točko A in skoznjo z ravnilom potegnemo premico p. Točka A predstavlja prvo krajišče daljice:




2. korak


S šestilom začrtamo drugo krajišče daljice:

  • V šestilo vzamemo dolžino daljice d.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka premico p:




3. korak


Presečišče premice in krožnega loka označimo s točko B. Točka B predstavlja drugo krajišče daljice:




Konstruirali smo daljico AB oziroma njej enakovredno daljico BA. Premica p predstavlja nosilko konstruirane daljice.


Simetrala daljice, razpolovišče daljice



Simetralo daljice konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije krožnice in premice.


Preden se lotimo risanja, ponovimo definicijo simetrale daljice:


Simetrala daljice je premica, ki razpolavlja daljico in je pravokotna nanjo.



Predpostavimo, da je daljica AB že narisana:




1. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino, nekoliko večjo od polovične dolžine daljice AB.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka daljico AB:



2. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo tak krožni lok, ki seka daljico AB, obenem pa dvakrat seka predhodno narisan krožni lok.

  • Točki, v katerih se krožna loka sekata, označimo s točkama C in D:



3. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki C in D ter jo označimo z malo črko s:




Premica skozi točki C in D je simetrala daljice AB in je na daljico AB pravokotna.


4. korak


Presečišče daljice AB in njene simetrale označimo s točko E:




Točka E predstavlja razpolovišče daljice AB. Simetrala s torej razpolavlja daljico AB.


Pravokotnica na daljico (premico)



Pravokotnico konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije krožnice in premice.


Preden se lotimo risanja, ponovimo definicijo pravokotnice:


Pravokotnica je premica, ki z dano daljico oz. premico oklepa pravi kot.



Pravokotnica poteka skozi točko na daljici (premici)



Predpostavimo, da sta premica p in točka T, skozi katero želimo potegniti pravokotnico, že narisani:




1. korak


  • V šestilo vzamemo poljubno dolžino.

  • Šestilo zapičimo v točko T.

  • S šestilom zarišemo krožnico.

  • Presečišči krožnice in premice označimo s točkama A in B:




2. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino, nekoliko večjo od polovične dolžine daljice AB.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v področje nad premico p:




3. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka krožnico s središčem v točki A.

  • Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




4. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in C ter jo označimo s q:




Premica q je pravokotnica na premico p:




Pravokotnica poteka skozi točko izven daljice (premice)



Predpostavimo, da sta premica p in točka T, skozi katero želimo potegniti pravokotnico, že narisani:




1. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino, nekoliko večjo od razdalje med točko in premico.

  • Šestilo zapičimo v točko T.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da dvakrat seka premico p.

  • Presečišči krožnega loka in premice označimo s točkama A in B.




2. korak


  • V šestilo vzamemo dolžino, nekoliko večjo od polovične dolžine daljice AB.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka daljico AB:




3. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo tak krožni lok, ki seka daljico AB, obenem pa seka tudi predhodno narisan krožni lok.

  • Točki, v katerih se krožna loka sekata, označimo s točkama C in D:




4. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki C in D in jo označimo s q:




Premica q je pravokotnica na premico p:




Vzporednica k daljici (premici)



Vzporednico konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije krožnice, premice in pravokotnice.


Preden se lotimo risanja, ponovimo definicijo vzporednice:


Vzporednica je premica, ki z dano daljico oz. premico bodisi nima nobene skupne točke bodisi sovpada.



Vzporednica poteka skozi določeno točko izven daljice (premice)



Predpostavimo, da sta premica p in točka T, skozi katero želimo potegniti vzporednico, že narisani:




1. korak


  • Na premici p označimo poljubno točko A.

  • V šestilo vzamemo razdaljo med točkama A in T.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka premico p in hkrati poteka skozi točko T.

  • Tako nastalo presečišče premice in krožnega loka označimo s točko B:




2. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko T.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da ne seka predhodno narisanega krožnega loka:




3. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka krožnico s središčem v točki T.

  • Tako nastalo presečišče označimo s točko C:




4. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in C ter jo označimo s q:




Premica q je vzporednica k premici p:




Vzporednica poteka na določeni razdalji od daljice (premice)



Predpostavimo, da je premica p, ob kateri želimo potegniti vzporednico, že narisana:




1. korak


Na premici p označimo poljubno točko A:




2. korak


Konstruiramo pravokotnico na premico p skozi točko A in jo označimo s q:




3. korak


  • V šestilo vzamemo podano razdaljo med premico p in njeno vzporednico.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožnico.

  • Presečišči krožnice in premice q označimo s točkama B in C:




4. korak


  • Konstruiramo pravokotnico na premico q skozi točko B in jo označimo z r:

  • Konstruiramo pravokotnico na premico q skozi točko C in jo označimo z s:




Premici r in s sta vzporednici k premici p na razdalji d:






Tovrstna konstrukcija ima vedno dve rešitvi, zato lahko zapišemo:


Vsaki premici v ravnini pripadata dve vzporednici, ki sta od premice enako oddaljeni.



Simetrala kota



Simetralo kota konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije krožnice in premice.


Preden se lotimo risanja, ponovimo definicijo simetrale kota:


Simetrala kota je premica, ki poteka skozi vrh kota in razpolavlja kot.



Predpostavimo, da je ravninski kot z vrhom V že narisan:




1. korak


  • V šestilo vzamemo poljubno dolžino.

  • Šestilo zapičimo v točko V.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka oba kraka kota.

  • Točki, v katerih krožni lok seka kraka kota, označimo z A in B:




2. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v področje med krakoma kota:




3. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko B.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v področje med krakoma kota tako, da seka predhodno zarisan krožni lok.

  • Točko, v katerih se krožna loka sekata, označimo s C:




4. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki V in C:




Premica skozi točki V in C je simetrala kota AVB.


Kot 60°



Kot 60° konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcije krožnice in premice.


1. korak


  • Prostoročno narišemo točko V.

  • Z ravnilom skozi točko V potegnemo premico p:




2. korak


  • V šestilo vzamemo poljubno dolžino.

  • Šestilo zapičimo v točko V.

  • S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka premico p. Krožni lok naj se nahaja pretežno nad premico p.

  • Tako nastalo presečišče označimo s točko A:




3. korak


  • Položaja krakov šestila ne spreminjamo.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožni lok v področje nad premico tako, da seka predhodno zarisan krožni lok.

  • Presečišče krožnih lokov označimo s točko B:




4. korak


Z ravnilom narišemo poltrak, ki ima izhodišče v točki V in poteka skozi točko B:




Konstruirali smo kot AVB, ki meri 60°.


5. korak (dodatni korak)


Z ravnilom povežemo točki A in B:




Posredno smo poleg AVB konstruirali še dva kota 60° in sicer BAV ter VAB. Tako konstruirani koti so notranji koti enakostraničnega trikotnika z oglišči V, A in B.


Konstrukcija kota 60° temelji na dejstvu, da so notranji koti v enakostraničnem trikotniku skladni in merijo 60°.



Konstrukcije enakostraničnih (pravilnih) likov so podrobneje predstavljene v poglavju Konstruiranje pravilnih geometrijskih likov


Tangenta na krožnico



Tangento konstruiramo na podlagi poznavanja konstrukcij:

  • krožnice

  • premice

  • razpolovišča daljice in

  • pravokotnice


Potrebno pa je tudi poznavanje Talesovega izreka o kotu v polkrogu.


Preden se lotimo risanja, ponovimo definicijo tangente:


Tangenta je premica, ki se dotika krožnice v natanko eni točki in je pravokotna na polmer krožnice.



Tangenta poteka skozi točko na krožnici



Predpostavimo, da sta krožnica in točka T, skozi katero želimo potegniti tangento, že narisani:




1. korak


Z ravnilom narišemo poltrak, ki ima izhodišče v središču krožnice S in poteka skozi točko T. Poltrak označimo s h:




2. korak


Konstruiramo pravokotnico na poltrak h skozi točko T in jo označimo s t:




Premica t predstavlja tangento na krožnico s središčem v točki S.


Tangenta poteka skozi točko izven krožnice



Predpostavimo, da sta krožnica in točka T, skozi katero želimo potegniti tangento, že narisani:




1. korak


Z ravnilom povežemo točki S in T:




2. korak


Konstruiramo razpolovišče daljice ST in ga označimo s točko A:




3. korak


  • V šestilo vzamemo polovično dolžino daljice ST.

  • Šestilo zapičimo v točko A.

  • S šestilom zarišemo krožnico.

  • Presečišči krožnic označimo s točkama B in C:




4. korak


Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in B in jo označimo s t.

Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in C in jo označimo z u:




Središčni kot TAS v krogu s središčem A (na zgornji sliki označen zeleno) meri 180°.

Glede na izrek o središčnem in obodnem kotu je pripadajoči obodni kot TBS za polovico manjši, t.j. pravi kot.


Enako velja za kota TAS in TCS - tudi slednji je pravi kot.


Premici t in u torej predstavljata tangenti na krožnico s središčem v točki S.


Tovrstna konstrukcija ima vedno dve rešitvi, zato lahko zapišemo:


Skozi točko izven krožnice vedno lahko narišemo dve tangenti na krožnico.




glavni avtor in urednik gradiva: Hitra pomoč pri nalogah, Gregor Rabič s.p.