Krožne funkcije fb
 

Krožne funkcije




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Krožne (ciklometrične) funkcije so kotnim funkcijam (sinus, kosinus in tangens, kotangens) obratne ali inverzne funkcije. Imenujemo jih tudi arkus funkcije.


Najbolj uporabljene arkus funkcije in njihove oznake:


  • arkus sinus:


  • arkus kosinus:


  • arkus tangens:


Grafi inverznih funkcij so zrcalne slike monotonega intervala grafov funkcij glede na simetralo lihih kvadrantov.


Vrednost kota x na vseh grafih inverznih funkcij se izraža v radianih. To pomeni, da je vrednost π enaka 3.14159... in ne 180°.



Arkus tangens



Za vsak




velja, da




Funkcija arkus tangens




je inverzna (obratna) funkcija k funkciji tangens




Oba grafa v nadaljevanju prikazujeta arctan x, ki ga dobimo tako, da monotono vejo tangensa z intervala prezrcalimo prek simetrale lihih kvadrantov.


Ena veja arctan x:




Celoten arctan x:




Lastnosti funkcije arkus tangens



  • Definicijsko območje funkcije arkus tangens je množica vseh realnih števil.


  • Zaloga vrednosti arkus tangens je interval .


  • Funkcija arkus tangens je na celem definicijskem območju naraščajoča.


  • Velja: funkciji arkus tangens in tangens se medsebojno ''uničujeta'', kar zapišemo:




    in




Določanje rešitev enačb tan x = a



Enačba ima vedno neskončno mnogo realnih rešitev. Po dogovoru je rezultat funkcije arkus tangens po absolutni vrednosti najmanjša rešitev enačbe.


Na grafu preberemo rešitve:




Rešitve dobimo tako, da v kalkulator vtipkamo in upoštevamo periodičnost funkcije.


Vse rešitve enačbe zapišemo:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Arkus sinus



Za vsak




velja, da




Funkcija arkus sinus




je inverzna (obratna) funkcija funkcije sinus




Graf arcsin x dobimo tako, da vzamemo monotoni del sinusa z intervala in ga prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov.




Lastnosti funkcije arkus sinus



  • Definicijsko območje arkus sinus funkcije je interval .


  • Zaloga vrednosti arkus sinus funkcije je interval .


  • Funkcija je naraščajoča na celotnem definicijskem območju.


  • Velja: funkciji arkus sinus in sinus se medsebojno ''uničujeta'', kar zapišemo:




    in




Določanje rešitev enačb sin x = a



Če je , potem ima enačba neskončno mnogo realnih rešitev. Po dogovoru je rezultat funkcije arkus sinus po absolutni vrednosti najmanjša rešitev enačbe .


Rešitve lahko preberemo na dva načina:


  • Reševanje s pomočjo grafa


    Pri reševanju z grafom gledamo presečišče funkcij in .




  • Reševanje s pomočjo enotske krožnice


    v enotski krožnici




Ne glede na način reševanja so rešitve vedno enake:

  • prvi sklop rešitev dobimo s kalkulatorjem (vtipkamo )

  • drugi sklop rešitev pa tako, da prvo rešitev odštejemo od -ja

V obeh primerih upoštevamo periodičnost funkcije.


Rešitve enačbe :






Če , potem enačba nima realnih rešitev.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Arkus kosinus



Za vsak




velja, da





Funkcija arkus kosinus




je inverzna (obratna) funkcija funkcije kosinus:




Graf arccos x dobimo tako, da vzamemo monotoni del kosinusa z intervala in ga prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov.




Lastnosti funkcije arkus kosinus



  • Definicijsko območje funkcije arkus kosinus je interval .


  • Zaloga vrednosti funkcije je interval .


  • Funkcija je padajoča na celotnem definicijskem območju.


  • Velja: funkciji arkus kosinus in kosinus se medsebojno ''uničujeta'', kar zapišemo:




    in




Določanje rešitev enačb cos x = a



Če je , potem ima enačba neskončno mnogo realnih rešitev. Po dogovoru je rezultat funkcije arkus kosinus najmanjša nenegativna rešitev enačbe .


Rešitve lahko preberemo na dva načina:


  • Reševanje s pomočjo grafa:


    Pri reševanju z grafom gledamo presečišče funkcij in .




  • Reševanje s pomočjo enotske krožnice:


    v enotski krožnici



Ne glede na način reševanja dobimo iste rezultate.

  • prvi sklop rešitev dobimo s kalkulatorjem (vtipkamo )

  • drugi sklop rešitev pa tako, da prvo rešitev nasprotno predznačimo

V obeh primerih upoštevamo periodičnost funkcije.


Vse rešitve






Če , potem enačba nima realnih rešitev.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.