Kvadratna funkcija fb
 

Kvadratna funkcija




Oblike zapisa kvadratne funkcije



Splošna oblika in pomen vodilnega koeficienta a



Kvadratna funkcija je realna funkcija s predpisom v tako imenovani splošni obliki:



kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila. Koeficient a imenujemo koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient, b koeficient linearnega člena in c stalni, svobodni, prosti, ali konstantni člen.

Koeficient a ne more biti enak 0, ker potem funkcija ni več kvadratna.



Graf kvadratne funkcije imenujemo parabola. Obliko parabole določa vodilni koeficient a:

  • Če je vodilni koeficient a > 0 je parabola obrnjena navgor in ima obliko:



  • Če je vodilno koeficient a < 0 je parabola obrnjena navzdol in ima obliko:



  • Širina parabole je odvisna od absolutne vrednosti vodilnega koeficienta . Večja je absolutna vrednost, ožja in bolj strma je parabola:




Ničelna oblika in ničle kvadratne funkcije



Splošno obliko kvadratne funkcije zapišemo v ničelni obliki s pomočjo zapisa:



kjer so:
  • a koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient in
  • ničli kvadratne fukcije.


Ničli kvadratne funkcije izračunamo po obrazcu:



kjer je D diskriminanta, ki jo izračunamo po obrazcu:



Ničle funkcije so tista števila x, pri katerih je vrednost funkcije f(x) enaka 0. Ničle nam povedo, kje funkcija seka os x. Pri tem je število in značaj ničel kvadratne funkcije je odvisen od diskriminante D.


Poglejmo, kako so ničle kvadratne funkcije odvisne od diskriminante D:

  • Če je D > 0, ima parabola dve različni realni ničli parabola seka os x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0


    za a < 0


  • Če je D = 0, ima parabola eno samo dvojno realno ničlo parabola se dotika osi x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0


    za a < 0


  • Če je D < 0, parabola nima ničel parabola ne seka in se ne dotika osi x, se pravi ima lahko eno izmed naslednjih oblik:

    za a > 0


    za a < 0



Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »


Temenska oblika in teme kvadratne funkcije



Določitev temenske oblike



Splošno obliko kvadratne funkcije: zapišemo v temenski obliki s pomočjo zapisa:



kjer so:
  • a koeficient kvadratnega člena ali vodilni koeficient in
  • koordinati temena parabole T(p, q).


Koordinati temena izračunamo z enačbama:





kjer je D diskriminanta, ki jo izračunamo po obrazcu:



Teme krivulje T(p, q) je v ravninski geometriji točka, kjer doseže ukrivljenost krivulje ekstremno (minimalno ali maksimalno) vrednost.


Poglejmo si geometrijski pomen temena:

  • Če je a > 0 je parabola obrnjena navgor, torej ima v temenu T(p, q) pri p najmanjšo vrednost q:



  • Če je a < 0 je parabola obrnjena navzdol, torej ima v temenu T(p, q) pri p največjo vrednost q:




Iz gornjih grafov razberemo, da je simetrijska os parabole paralelna z ordinatno osjo in je njena enačba:



Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »


Določitev temenske oblike z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata



Do temenske oblike kvadratne funkcije lahko pridemo tudi, če splošno obliko dopolnimo do popolnega kvadrata.

Izpeljimo temensko obliko kvadratne funkcije s popolnitvijo do popolnega kvadrata:
Z oklepajem ogradimo kvadratni in linearni člen.
Iz oklepaja izpostavimo koeficient kvadratnega člena a.
Izrazu v oklepaju prištejemo in odštejemo kvadrat polovice koeficienta linearnega člena .
Namesto lahko zapišemo .
Uredimo.
 
 
 
Upoštevamo da je diskriminanta .
Upoštevamo, da je in .
 


Dobili smo temensko obliko kvadratne funkcije.

Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »


Risanje grafa kvadratne funkcije (parabole)



Risanje parabole na osnovi splošne oblike



Pri risanju parabole , ki je podana v splošni obliki, si pomagamo s ključnimi točkami, ki so:

  • ničle kvadratne funkcije

    Ničle so točke, kjer funkcija seka, oziroma se dotika x osi in zanje velja y = 0:





  • začetna vrednost funkcje

    Začetna vrednost funkcije je točka, v kateri funkcija seka os y in zanjo velja x = 0:



  • teme funkcije

    Teme je točka, kjer ima kvadratna funkcija ekstremno (minimalno ali maksimalno) vrednost:



  • zrcalna slika začetne vrednosti

    Ker je kvadratna funkcija simetrična glede na navpičnico skozi teme lahko kot dodatno oporno točko uporabimo še točko, ki je zrcalna slika začetne vrednosti:






V koordinatni sistem vrišemo izračunane ključne točke in skoznje narišemo graf podane kvadratne funkcije. Obrazci za izračun ključnih točk so:









Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »


Risanje parabole na osnovi temenske oblike



Iz funkcije , ki je podana v temenski obliki, razberemo naslednja, za risanje njenega grafa, pomembna podatka:
  • izhodiščno funkcijo in
  • teme T(p, q).


Najprej narišemo izhodiščno funkcijo , ki je najpreprosta oblika kvadratne funkcije (ker sta b = 0 in c = 0) in jo zato lahko narišemo kar s pomočjo tabeliranja. Za x-e izberemo poljubne vrednosti (običajno in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti. S tem dobimo točke skozi katere gre funkcija.

V koordinatni sistem vrišemo dobljene točke in skoznje potegnemo izhodiščno funkcijo .

Funkcijo potem narišemo tako, da narisani izhodiščni graf togo premaknemo tako, da je njeno teme v točki T(p, q), ki je teme podane funkcije.

Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »


Medsebojna lega parabole in premice



Medsebojno lego med parabola in premica določimo tako, da rešimo sistem njunih enačb:





Razrešimo ga z zamenjalnim načinom. V prvi enačbi neznanko y nadomestili z izrazom v drugi enačbi:
V enačbi y nadomestimo z .
Vse člene premestimo na levo stran enačbe in jih uredimo po padajočih potencah.
Izpostavimo x, da dobimo koeficient b.
Enačbo množimo z - 1. Običajno enačbo množimo ali delimo tako, da je vodilni koeficient pozitiven. Dobimo kvadratno enačbo:
 


Abscisa presešiča parabole in premice je rešitev kvadratne enačbe:



ki ima koeficiente:







Medsebojna lega parabole in premice je odvisna od diskriminante D, ki jo izračunamo po obrazcu:



Diskriminanta na lego med kvadratno funkcijo in enačbo vpliva tako:

  • Če je D > 0, premica seka parabolo v dveh točkah



  • Če je D = 0, se premica dotika parabole, se pravi, da je njena tangenta



  • Če je D < 0, premica in parabola nimata nobene skupne točke




Primer

Primer je v celoti dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
Prijavi se za dostop do primera »

glavni avtor in urednik gradiva: Janez Mihelčič