Limita v neskončnosti

Z limito v neskončnosti opišemo obnašanje funkcij in njihovih grafov daleč proč od koordinatnega izhodišča, ko neodvisna spremenljvka raste prek vseh meja v pozitivno ali negativno smer.

Zapišemo jo kot:

Za lažje razumevanje sledeče definicije se spomnimo:

Limita v neskončnosti se nahaja v točki , ko gre v neskočnost, če za vsak izbran najdemo tako realno število , da se vsi , ki so večji od , preslikajo v -okolico točke .

Imejmo funkcijo . Če velja:

potem povsem enakovredno velja tudi:

V nadaljevanju se bomo osredotočili na racionalne funkcije, kjer je stopnja polinoma v števcu maksimalno za 1 večja od stopnje polinoma v imenovalcu. Ta pogoj postavljamo zato, ker se želimo omejiti na največ linearne asimptote.

Velja naslednje:

Graf funkcije se daleč proč od koordinatnega izhodišča približuje abscisni osi.

Iz tega sledi:

Velja naslednje:

Graf funkcije se daleč proč od koordinatnega izhodišča približuje vodoravni asimptoti z enačbo:

kjer sta in vodilna koeficienta teh dveh polinomov.

Iz tega sledi:

Velja naslednje:

Vrednosti take racionalne funkcije rastejo prek vseh meja, ko gre v neskončnost. Graf se približuje poševni asimptoti.

Velja tudi, da večji kot je , manjša je razdalja med funkcijo in poševno asimptoto. Kar pomeni, da večji, ko je , manjša je razlika med vrednostjo racionalne funkcije in vrednostjo linearne funkcije , to je kvocienta števca in imenovalca.

Vrednost predstavlja v tem primeru enačbo poševne asimptote, ki jo dobimo na naslednji način:

Imejmo racionalno funkcijo oblike:

Za izračun poševne asimptote moramo zdeliti polinom v števcu - s polinomom v imenovalcu - . Dobimo:

Za ostanek vemo, da večji kot je , manjši je ta člen. Torej, ko gre v neskončnost gre ta člen proti nič.

Iz tega sledi, da je enačba poševne asimptote:

Z naraščanjem neodvisne spremenljivke postaja razlika med vrednostjo funkcije in kvocientom vse manjša, torej limitira proti nič:

Spomnimo se oblike eksponentne funkcije:

Vemo, da limita v neskončnosti v neki vrednosti a obstaja samo, kadar se funkcija z naraščanjem vrednosti x približuje tej vrednosti a, zato moramo biti pozorni na predznak neskončnosti v katero 'pošljemo' x. Iz tega sledi, da zgornja trditev velja le v primerih kadar je izpolnjen eden izmed naslednjih pogojev: