Limite trigonometričnih funkcij fb
 

Limite trigonometričnih funkcij




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V tem poglavju bomo obravnavali limite naslednjih trigonometričnih funkcij:


Limita funkcij sinus in kosinus



V nadaljevanju si bomo pogledali dva tipa limit:

  • limito v neki točki (npr. v točki )

  • limito v neskončnosti.


Limita funkcije v točki



Spomnimo se kakšen graf imata funkciji sinus in kosinus.


Vemo, da ima limita funkcije v točki naslednjo obliko:




S pomočjo grafa opazimo, da sta sinus in kosinus zvezni funkciji na vsem definicijskem območju, zato za njuni limiti velja:


Limita funkcije sinus v točki:




Limita funkcije kosinus v točki:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Posebni primer limite sinusa



Posebej zanimiva je naslednja limita:




Problem limite je, da če v izraz vstavimo x=0, dobimo:




Odvisno od tega, kako hitro funkciji v števcu in imenovalcu padajo proti ničli, je lahko vrednost takega izraza karkoli med in .


Kljub temu limita v x=0 obstaja in sicer:




Dokažimo enakost; pri tem si pomagamo s skico:


V enotsko krožnico smo vrisali kot x (v radianih). Ker smo v enotski krožnici, je lok, ki pripada temu kotu, dolžine x. Označimo še razdalji x in .



Iz skice lahko, na intervalu , zapišemo očitno zvezo:




Oglejmo si zvezo podrobneje:




Opomba:

Ta primer oz. trditev je lahko tudi zelo uporabna pri drugih problemih, zato ga bomo označili kot zgoraj dokazano trditev:


Limita funkcije



v točki x=0 je enaka 1


Torej:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Limita v neskončnosti



Vemo, da ima limita funkcije v neskončnosti naslednjo obliko:




Vemo tudi, da se vrednosti funkcije sinus in kosinus gibljejo med -1 in 1, zato lahko trdimo naslednje:


O limiti funkcije sinus in kosinus v neskončnosti ne moremo govoriti, ker se njune vrednosti vedno gibljejo med -1 in 1 in se ne približujejo nobeni vrednosti. Limiti




in




ne obstajata.



Limita funkciji tangens in kotangens



Spomnimo se grafa funkcije tanges in kotanges. S pomočjo tega ugotovimo naslednje:


Tanges in kotanges sta odsekoma zvezni funkciji. Zanju velja naslednje:






Vrednost




ne obstaja, saj gredo vrednosti funkcije tanges, ko se x približuje z leve, v plus neskončno, ko se x približuje vrednosti z desne, v minus neskončno. Podoben sklep naredimo za funkcijo kotanges za vrednost in .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Darja Zlodej