Logaritmi fb
 

Logaritmi




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Logaritmiranje je obratna operacija od potenciranja.


Logaritme so najprej uvedli v astronomiji, da bi si poenostavili računanje z velikimi števili, uporablja pa se za določanje pH vrednosti raztopin, lestvico za glasnost zvoka in lestvico za določanje svetlosti zvezd.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Definicija



Kako pridemo do vpeljave logaritma si poglejmo na naslednjem primeru:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


V zgornjem primeru števila y ni bilo težko najti. V splošnem pa tak eksponent (število y) najdemo le s pomočjo logaritma.


Logaritem pozitivnega števila x s pozitivno in od 1 različno osnovno a je tisti eksponent y, pri katerem je potenca z osnovo a enaka številu x:




Poglejmo si elemente logaritma:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poglejmo si še nekaj primerov:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Desetiški logaritem



Desetiški logaritem je logaritem z osnovo 10.


Po dogovoru pri desetiškem logaritmu osnove ne pišemo:




Pri računanju desetiškega logaritma, si lahko pomagamo z žepnim računalom, ki vsebuje ustrezno tipko log.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Naravni logaritem



Naravni logaritem je logaritem z osnovo e.


Za naravni logaritem se je uveljavila naslednja oznaka:




Pri računanju naravnega logaritma, si lahko pomagamo z žepnim računalom, ki vsebuje ustrezno tipko ln.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Računske operacije z logaritmi



Logaritmiranje in antiloagaritmiranje



Logaritmiranje je postopek, s katerim eksponentno enačbo




prevedemo v logaritemsko




antilogaritmiranje pa nam logaritemsko enačbo prevede v eksponentno enačbo. Logaritmiranje in antilogaritmiranje sta si torej obratni operaciji.


Če logaritemska in eksponentna funkcija nastopata skupaj, ena kot eksponent, druga kot osnova, ali obratno, za vsak a > 0 velja:




in




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Logaritem produkta



Logaritem produkta števil, ki sta večji od 0 je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev:


Logaritem produkta je vsota logaritmov:




Dokažimo zgornjo enakost. Naj bosta




in




Zapišimo produkt




Če logaritmiramo zgornji izraz dobimo:




Logaritem kvocienta



Logaritem kvocienta števil, ki sta večji od 0 je enak razliki logaritmov deljenca in delitelja.


Logaritem kvocienta je enak razliki logaritmov:




Dokaz je podoben prejšnjemu.


Logaritem potence



Logaritem potence je enak produktu eksponenta in logaritma osnove.


Logaritem potence:




Dokažimo. Naj bo




Potem sledi:




Prehod k novi osnovi



Ko računamo primere v katerih nastopajo logaritmi želimo velikokrat uporabiti računalo, ki pa nam izračuna le desetiški in naravni logaritem. Zato logaritem pretvorimo na ustrezno osnovo:


Pri prehodu iz osnove b k novi osnovi a uporabljamo obrazec:




Izpeljimo obrazec. Logaritem z osnovo b označimo z




ki ga po definiciji zapišemo kot




Zgornjo enakost logaritmiramo z logaritmom, ki ima osnovo a in uporabimo logaritem potence.




Sedaj y nadomestimo z in dobimo zvezo:




ki je po preoblikovanju enaka našemu obrazcu:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Maja Brenčič