Neskončna geometrijska vrsta fb
 

Neskončna geometrijska vrsta




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Neskončna geometrijska vrsta je poseben primer neskončne vrste, zato najprej spoznajmo neskončno vrsto.


Neskončna vrsta



Neskončna vrsta je vsota neskončno mnogo členov nekega zaporedja števil :




Splošni člen neskončne vrste označimo z




neskončno vrsto (ki ji sicer rečemo tudi vsota) pa z veliko grško črko




Vsota neskončne vrste



Zapišimo vsote prvih n členov zaporedja:




Dobljene vsote imenujemo delne vsote zaporedja. Označujemo jih z . Zaporedje pa imenujemo zaporedje delnih vsot.


Vsota neskončne vrste je limita zaporedja delnih vsot, ko gre . Limito zaporedja delnih vsot označimo z S in zapišemo:




Vsota neskončne vrste je:




Kadar limita zaporedja delnih vsot obstaja, rečemo, da vrsta konvergira k vsoti S oz. je konvergentna z vsoto S. To pomeni, da lahko seštejemo neskončno število členov zaporedja.


Kadar pa limita delnih vsot ne obstaja oziroma je njena vrednost neskončna, rečemo, da vrsta divergira oz. je divergentna. To pomeni, da ne moremo sešteti neskončno število členov zaporedja.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Neskončna geometrijska vrsta



Predstavljajmo si, da imamo dano neskončno geometrijsko zaporedje in želimo izračunati njegovo vsoto . Za izračun vsote danega zaporedja uporabimo neskončno geometrijsko vrsto. Ker gre za geometrijsko zaporedje, vemo, da velja: , zato lahko vrsto namesto




zapišemo kot:




Konvergenca neskončne geometrijske vrste



Vemo, da je vrsta konvergentna, če obstaja limita delnih vsot, zato poiščimo vsoto za prvih n členov:




Zapis prepoznamo kot končno geometrijsko vrsto, zato ga lahko krajše zapišemo z uporabo obrazca za izračun vsote končne geometrijske vrste:




Če je naša vrsta konvergentna, potem obstaja limita njenih delnih vsot S:




Opazimo, da bo limita delnih vsot obstajala, če bo obstajala limita potenčnega zaporedja . Pa razmislimo, kdaj obstaja limita potenčnega zaporedja:


vrednosti potence se z naraščanjem eksponenta n stekajo proti nič, če za osnovo potence k velja . Zato velja:




Za ostale osnove potence k limita očitno ne obstaja.


Zaključimo, da limita delnih vsot obstaja, če velja:




oz.




Izračunamo limito delnih vsot (1) do konca:




Vsota neskončne geometrijske vrste je tako:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Inka Frolov