matematika fb
 

Polarni koordinatni sistem



Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Spomnimo se pravokotnega koordinatnega sistema v ravnini, v katerem vsako točko zapišemo z dvema podatkoma:

  • koordinato x in

  • koordinato y.


Tudi v polarnem kooridnatnem sistemu opisujemo točke v ravnini - s to razliko, da sta koordinati točke določene z:

  • oddaljenostjo točke od koordinatnega izhodišča in

  • s kotom med osjo x in pa daljico med koordinatnim izhodiščem in točko.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kakšen koordinatni sistem izberemo za reševanje matematičnih problemov je povsem naša stvar - rezultat mora biti na koncu vedno enak. A pravilna izbira koordinat nam lahko v določenih primerih zelo olajša samo reševanje problema.


V primeru, da izberemo polarne kordinate, obenem izberemo polarni koordinatni sistem - ki se razlikuje od kartezičnega. Polarni koordinatni sistem v ravnini določata:

  • izhodišče O ali pol O;

  • pozitivni poltrak iz izhodišča p ali polarna os p.

Narišimo polarni koordinatni sistem:




Točka v polarnem koordinatnem sistemu



Lego točke, ki ni enaka izhodišču, določimo z dvema koordinatama:

  • z razdaljo r od pola O pa do dane točke in

  • s kotom φ, ki je kot med:

    • polarno osjo p in

    • daljice med točko in izhodiščem.

    Kot φ vedno merimo v pozitivni smeri (nasprotna smer urinega kazalca) njegova vrednost pa je med 0°≤ φ <360°.


Koordinati φ in r imenujemo polarni koordinati točke in ju zapišemo kot urejen par:




Pogosto je koordinata φ namesto v kotnih stopinjah podana v radianih. φ je tako omejen med 0 ≤ φ < 2π.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Množice točk v polarnem koordinatnem sistemu



V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj množic točk v polarnem koordinatnem sistemu. Te množice so zanimive zato, ker jih s polarnimi koordinatami precej enostavneje opišemo kot s kartezičnimi.


Krožnica



Krožnica je množica točk na ravnini, ki so enako oddaljene od izhodišča in sicer jo lahko opišemo s:


  • Kartezičnimi koordinatami


    Krožnica je v pravokotnem koordinatnem sistemu (in s središčem v v izhodišču) podana z enačbo:




  • Polarnimi koordinatami


    V polarnem koordinatnem sistemu je krožnica določena precej bolj ensotavno in sicer z enačbo:




    kjer je:

    • a številčna vrednost polmera krožnice (neko realno število);

    • φ pa zavzame vse možne vrednosti od 0° do 360°.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Poltrak



Poltrak je množica vseh takšnih točk v polarnem koordinatnem sistemu, ki:

  • poljuben r in

  • enak φ.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kolobar



Kolobar je množica točk med dvema krožnicama. Povedano drugače: v kolobarju so točke omejene z najmanjšo in največjo dano razdaljo od izhodišča. Enačba kolobarja v polarnem koordinatnem sistemu je:




kjer sta:

  • najmanjša razdalja in

  • največja dovoljena razdalja za oddaljenost od izhodišča.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Krožni izsek



V polarnem koordinatnem sistemu je krožni izsek množica točk, kjer:

  • prva koordinata, r, zavzame poljubne vrednosti od izhodišča O;

  • druga koordinata, φ, pa je omejena z dvema vrednostma:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Izsek kolobarja



Izsek kolobarja je množica točk, kjer sta obe polarni koordinati omejeni.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Anton Žnidar