Kolinearni in komplanarni vektorji fb
 

Relacije na vektorjih




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Kolinearni vektorji



Vektorja in sta kolinearna, če sta vzporedna oziroma ležita na vzporednih nosilkah premic.


Če sta vektorja in kolinerana in je različen od nič, potem obstaja tak , da velja:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Komplanarni vektorji



Trije vektorji so komplanarni, če ležijo v isti ravnini.


Če so vektorji in komplanarni, potem obstajata tak , da velja:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Linearna kombinacija



Linearna kombinacija vektorjev je navadna vsota več različnih vektorjev, pomnoženih s poljubnimi realnimi števili.


Linearna kombinacija dveh vektorjev



Linearna kombinacija vektorjev in je vsak izraz zapisan kot vsota teh dveh vektorjev, pomnoženih s poljubnima realnima številoma k in l:




Rezultat linearne kombinacije so različni vektorji, odvisni od danih vektorjev in vrednosti realnih števil. Za realni števili k = l = 0 in dana vektorja in dobimo kot rezultat ničelni vektor:




Takšne vektorje, pri katerih je njihova linearna kombinacija ničelni vektor samo v primeru, ko je k = l = 0, imenujemo linearno neodvisni sicer ssta vektorja linearno odvisna. Intuitivno: vektorja sta linearno odvisna če sta vzporedna, sicer sta linearno neodvisna.


Vektorja in sta linearno neodvisna, če lahko za poljubna k in l njuno vsoto




seštejemo v 0 če in samo če sta hkrati k = 0 in l = 0. Sicer sta vektorja linearno odvisna.



Vektorja in sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Linearna kombinacija treh ali več vektorjev



Linearna kombinacija vektorjev in je vsak izraz zapisan kot vsota teh treh vektorjev, pomnoženih s poljubnimi realnima števili k, l in m:




Rezultat linearne kombinacije so različni vektorji, odvisni od danih vektorjev in vrednosti realnih števil. Za realna števila k = l = m = 0 in dane vektorje in dobimo kot rezultat ničelni vektor:




Takšne vektorje, pri katerih je njihova linearna kombinacija ničelni vektor samo v primeru, ko je k = l = m = 0, imenujemo linearno neodvisni, sicer so vektorji linearno odvisni. Intuitivno: vektorji so linearno odvisni če so komplanarni, sicer so linearno neodvisni.


Vektorji in so linearno neodvisni, če lahko za poljubne k, l in m njuno vsoto




seštejemo v 0 če in samo če so hkrati k = 0, l = 0 in m=0. Sicer so vektorji linerano odvisni.



Vektorji in so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Baza ravnine, baza prostora



Sedaj pa poglejmo:

  • kaj predstavljata vektorja, ki nista vzporedna (pravimo, da sta linearno neodvisna oziroma nekolinearna) in

  • kaj predstavljajo vektorji, ki ne ležijo v isti ravnini (so linearno neodvisni oziroma nekomplanarni).


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Bazo ravnine določata dva neničelna, nevzporedna (nekolinearna vektorja) in , s katerima lahko vse preostale vektorje v ravini izrazimo na en sam način, kot linearno kombinacijo teh dveh vektorjev:




pri čemer sta .



Zapis vektorja (npr. ) po bazi vektorjev (npr. in ) pravimo razvoj vektorja po bazi.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Bazo prostora določajo trije neničelni vektorji in , ki ne ležijo v isti ravnini in s katerimi lahko vse preostale vektorje v prostoru izrazimo na en sam način, kot linearno kombinacijo teh treh vektorjev:




pri čemer sta




Zapis vektorja (npr. ) po bazi vektorjev (npr. in ) pravimo razvoj vektorja po bazi.


Vektorje, ki določajo bazo ravnine oz. prostora, imenujemo bazni vektorji, realna števila, ki nastopajo v razvoju vektorja po bazi, pa imenujemo komponente.


Število baznih vektorjev je določeno z dimenzijo prostora. Ker je ravnina 2-dimenzionalna, tvorita bazo ravnine dva vektorja in ker je prostor 3-dimenzionalen, tvorijo bazo prostora trije vektorji.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Baza je ortogonalna, če so bazni vektorji pravokotni drug na drugega; normirana, če so vektorji enotski (imajo dolžino ena) in ortonormirana, če so vektorji enotski in med seboj pravokotni.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: janja čeh