IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
IZREDNO OBVESTILO.
Zaradi izjemnih okoliščin povsem odpiramo bazo vsebin za vse razrede učencev osmih in devetih razredov osnovnih in za razrede dijakov srednjih šol ter njihove učitelje do konca šolskega leta. Vse informacije so na voljo na tej strani.
Vse o naši iniciativi, s katero do konca šolskega leta podeljujemo razredom prost dostop do vseh OpenProf vsebin, lahko preberete tu.
 
 



Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja s kotnimi funkcijami. Kotne ali trigonometrične funkcije, so matematične funkcije, katerih vrednosti funkcije odvisne od kota.


Trigonometrija se je razvila iz proučevanja trikotnikov (pravokotnih), odnosov med stranicami in koti v pravokotnem trikotniku in s proučevanjem podobnih trikotnikov.


Osnovne in najpogosteje uporabljane trigonometrične funkcije so:


Pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje in iz stopinj v radiane



Kote lahko merimo z dvema različnima merama:

  • stopinjah:


    celoten krožni lok šteje , oziroma, ena stopinja šteje celotnega krožnega loka;

  • radianih:


    celoten krožni lok šteje , oziroma, ena stopinja šteje celotnega krožnega loka.


Ker z različnimi merami opisujemo isti pojem, sta meri med seboj povezani:






Pri računanju uporabljamo približek .



Pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje



Formula za pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pretvarjanje kotov iz stopinj v radiane



Formula za pretvarjanje stopinj v radiane:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Enotska krožnica



Enotska krožnica je množica točk, ki so za 1 enoto oddaljene od koordinatnega izhodišča. Uporabljamo jo za prikaz vrednosti kotnih funkcij.


Ne glede na to, katero točko na enotski krožnici (z izhodiščem v središču) gledamo, vsaka ima koordinati, ki ju zapišemo kot:




Enotska krožnica



Kotne funkcije poljubno velikega kota v enotski krožnici



Narišimo si poljuben kot, v našem primeru , in v presečišču kota in enotske krožnice si označimo točko, v našem primeru C. Za vsako točko na enotski krožnici vemo, da:

  • x = koordinata, ki predstavlja vrednost kosinusa kota

  • y = koordinata, ki predstavlja vrednost sinusa kota


Določanje sinusa in kosinusa v enotski krožnici



Prehod na ostre kote



Kote, ki so večji od in manjši od , najlažje prevedemo v ostre kote po obrazcih:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Vrednosti kotnih funkcij ''lepih'' kotov



''Lepi'' koti so:


  • večkratniki kota


  • večkratniki kota


    Vrednosti se pojavita izključno pri simetralah kvadrantov (to so koti ).


Vrednosti ''lepih'' kotov lahko preberemo v enotski krožnici:


Tabela vrednosti sinusa in kosinusa



Vrednosti, ki si jih moramo zapomniti, so naštete v naslednji tabeli:



Ko pogledamo tabelo, ugotovimo, da se od naprej vrednosti sinusa in kosinusa ponavljajo:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vrednosti preostalih kotov, ki jih lahko izpeljemo s pomočjo predhodne tabele:



Tudi ko pogledamo skico v poglavju Prehod na ostre kote, ugotovimo, da imata kota in res enako vrednost.


Na osnovi tabele lahko določimo tudi predznake sinusa in kosinusa v kvadrantih (ker sta sinus in kosinus zamaknjena za , lahko enako zamaknjenost opazimo tudi v predznačenosti):


Predznaki sinusa v kvadrantih



Predznaki kosinusa v kvadrantih



Tabela vrednosti tangensa in kotangensa



Tabela vrednosti kotnih funkcij tangens (tan x) in kotangens (cot x) se da najlažje izpeljati s formulami:







Ko tabelo pogledamo, ugotovimo, da se vrednosti tangensa in kotangensa od naprej ponavljajo:



Ko upoštevamo še zvezi in ter predznake sinusov in kosinusov, zlahka napišemo še tabelo predznakov za tangens in kotangens.


Predznaki tangensa in kotangensa v kvadrantih



Vrednosti kotnih funkcij ''nelepih'' kotov



Vse vrednosti kotnih funkcij ostalih ''nelepih'' kotov računamo s kalkulatorjem. Na enotski krožnici jih lahko določimo samo zelo približno.


Osnovne zveze med kotnimi funkcijami



Spodnje zveze se uporabljajo pri poenostavljanju izrazov in za reševanje trigonometričnih enačb:


  • Tangens in kotangens


    Iz gradiva Funkciji tangens in kotangens že poznamo zvezi:






  • Pitagorov izrek


    Prav tako nam je iz gradiva Funkciji sinus in kosinus znan Pitagorov izrek:




  • Zveza med kosinusom in tangensom




    Zvezo lahko z nekaj premetavanja hitro izpeljemo:



  • Zveza med sinusom in kotangensom




    Zvezo lahko hitro izpeljemo:




Kotne funkcije komplementarnih kotov



Komplementarna kota sta kota, za katera velja: .


Spreminjanje kosinusa v sinus:




Spreminjanje sinusa v kosinus:





glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.