Razdalje in koti v prostoru fb
 

Trigonometrija




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja s kotnimi funkcijami. Kotne ali trigonometrične funkcije, so matematične funkcije, katerih vrednosti funkcije odvisne od kota.


Trigonometrija se je razvila iz proučevanja trikotnikov (pravokotnih), odnosov med stranicami in koti v pravokotnem trikotniku in s proučevanjem podobnih trikotnikov.


Osnovne in najpogosteje uporabljane trigonometrične funkcije so:


Pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje in iz stopinj v radiane



Kote lahko merimo z dvema različnima merama:

  • stopinjah:


    celoten krožni lok šteje , oziroma, ena stopinja šteje celotnega krožnega loka;

  • radianih:


    celoten krožni lok šteje , oziroma, ena stopinja šteje celotnega krožnega loka.


Ker z različnimi merami opisujemo isti pojem, sta meri med seboj povezani:






Pri računanju uporabljamo približek .



Pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje



Formula za pretvarjanje kotov iz radianov v stopinje:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Pretvarjanje kotov iz stopinj v radiane



Formula za pretvarjanje stopinj v radiane:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Enotska krožnica



Enotska krožnica je množica točk, ki so za 1 enoto oddaljene od koordinatnega izhodišča. Uporabljamo jo za prikaz vrednosti kotnih funkcij.


Ne glede na to, katero točko na enotski krožnici (z izhodiščem v središču) gledamo, vsaka ima koordinati, ki ju zapišemo kot:




Enotska krožnica



Kotne funkcije poljubno velikega kota v enotski krožnici



Narišimo si poljuben kot, v našem primeru , in v presečišču kota in enotske krožnice si označimo točko, v našem primeru C. Za vsako točko na enotski krožnici vemo, da:

  • x = koordinata, ki predstavlja vrednost kosinusa kota

  • y = koordinata, ki predstavlja vrednost sinusa kota


Določanje sinusa in kosinusa v enotski krožnici



Prehod na ostre kote



Kote, ki so večji od in manjši od , najlažje prevedemo v ostre kote po obrazcih:



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



Vrednosti kotnih funkcij ''lepih'' kotov



''Lepi'' koti so:


  • večkratniki kota


  • večkratniki kota


    Vrednosti se pojavita izključno pri simetralah kvadrantov (to so koti ).


Vrednosti ''lepih'' kotov lahko preberemo v enotski krožnici:


Tabela vrednosti sinusa in kosinusa



Vrednosti, ki si jih moramo zapomniti, so naštete v naslednji tabeli:



Ko pogledamo tabelo, ugotovimo, da se od naprej vrednosti sinusa in kosinusa ponavljajo:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vrednosti preostalih kotov, ki jih lahko izpeljemo s pomočjo predhodne tabele:



Tudi ko pogledamo skico v poglavju Prehod na ostre kote, ugotovimo, da imata kota in res enako vrednost.


Na osnovi tabele lahko določimo tudi predznake sinusa in kosinusa v kvadrantih (ker sta sinus in kosinus zamaknjena za , lahko enako zamaknjenost opazimo tudi v predznačenosti):


Predznaki sinusa v kvadrantih



Predznaki kosinusa v kvadrantih



Tabela vrednosti tangensa in kotangensa



Tabela vrednosti kotnih funkcij tangens (tan x) in kotangens (cot x) se da najlažje izpeljati s formulami:







Ko tabelo pogledamo, ugotovimo, da se vrednosti tangensa in kotangensa od naprej ponavljajo:



Ko upoštevamo še zvezi in ter predznake sinusov in kosinusov, zlahka napišemo še tabelo predznakov za tangens in kotangens.


Predznaki tangensa in kotangensa v kvadrantih



Vrednosti kotnih funkcij ''nelepih'' kotov



Vse vrednosti kotnih funkcij ostalih ''nelepih'' kotov računamo s kalkulatorjem. Na enotski krožnici jih lahko določimo samo zelo približno.


Osnovne zveze med kotnimi funkcijami



Spodnje zveze se uporabljajo pri poenostavljanju izrazov in za reševanje trigonometričnih enačb:


  • Tangens in kotangens


    Iz gradiva Funkciji tangens in kotangens že poznamo zvezi:






  • Pitagorov izrek


    Prav tako nam je iz gradiva Funkciji sinus in kosinus znan Pitagorov izrek:




  • Zveza med kosinusom in tangensom




    Zvezo lahko z nekaj premetavanja hitro izpeljemo:



  • Zveza med sinusom in kotangensom




    Zvezo lahko hitro izpeljemo:




Kotne funkcije komplementarnih kotov



Komplementarna kota sta kota, za katera velja: .


Spreminjanje kosinusa v sinus:




Spreminjanje sinusa v kosinus:





glavni avtor in urednik gradiva: Pitagora - inštrukcije Mateja Radkovič s.p.