Osnove verjetnostnega računa fb
 

Verjetnostni račun




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


Verjetnostni račun je del matematike, ki preučuje kakšna je verjetnost, da se zgodi nek naključni dogodek.


Osnove verjetnostnega računa



Vsako opazovanje, izvajanje ali merjenje nekega pojava imenujemo poskus. Poskus so torej dejavnosti, ki se vedno zgodijo v istem zaporedju


Dogodek



Dogodek je vsak rezultat, ki ga dobimo ob izvajanju poskusa.


Slučajni dogodek



Met kovanca vedno opravimo na enak način. Vzamemo kovanec v roko in vržemo. Temu zaporedju dejavnosti sledi, da se bo kovanec obrnil na eno izmed dveh strani in sicer ali cifra ali grb. Na katero stran se bo obrnil je odvisno od slučaja, zato bomo to imenovali slučajni dogodek.


Gotovi in Nemogoči dogodek



Nekateri dogodki se zgodijo ob vsaki ponovitvi poskusa. Za nočjo pride dan, za petkom pride sobota, ob metu kocke bo padlo število od 1 do 6 in podobno. Takim dogodkom pravimo gotovi dogodki, ker se zgodijo z gotovostjo ob vsaki ponovitvi poskusa. Predvidevamo, da bi se zgodili vedno, tudi če bi poskus ponavljali v nedogled.


Druga skrajnost so nemogoči dogodki, dogodki, ki se ne zgodijo nikoli, ne glede na to kako dolgo ponavljamo poskus. Primer nemogočega dogodka je, da bi ob metu navadne kocke dobili število 7.


Označevanje



Slučajne dogodke bomo označevali z velikimi črkami A,B,C,..., gotov dogodek bo imel oznako G, nemogoč dogodek pa N. Poskus bomo označevali s črko X.


Elementarni in sestavljeni dogodki



Vsi dogodki pri metu kocke so takšni, da se jih ne da zapisani kot vsoto ali produkt nekih drugih dogodkov. Torej so osnovni ali elementarni dogodki. Iz elementarnih dogodkov z operatorji tvorimo sestavljene dogodke.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Vzorčni prostor



Množico vseh elementarnih dogodkov imenujemo vzorčni prostor poskusa. Mi se bomo omejili le na končne vzorčne prostore. Vsota vseh elementarnih dogodkov je gotov dogodek, dva po dva elementarna dogodka pa sta nezdružljiva.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Če je vzorčni prostor sestavljen iz N dogodkov, lahko gotovi dogodek zapišemo kot:




Nemogoči dogodek pa zapišemo kot:




kjer velja:




Vzorčni prostor upodobimo kot kvadrat, elementarne dogodke pa kot pike v njem.


vzorčni prostor



Iz teorije množic se spomnimo, da ima množica z n elementi podmnožic. Analogno lahko vidimo, da lahko iz vzorčnega prostora z n elementarnimi dogodki sestavimo različnih vsot dogodkov. Med temi dogodki lahko na več načinov izberemo tiste, ki so paroma nezdružljivi njihova vsota pa predstavlja gotov dogodek. Taki dogodki sestavljajo popoln sistem dogodkov poskusa X.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Računanje z dogodki



Z dogodki računamo podobno kot z množicami in uporabljamo enake operatorje. Tudi grafično dogodke upodabljamo z Vennovimi diagrami.


Vsota dogodkov



Vsoto dogodkov A in B označimo z . Ta dogodek se zgodi, ko se zgodi ali A ali B, torej vsaj eden izmed dogodkov.


vsota dogodkov



Lastnosti vsote dogodkov:










Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Produkt dogodkov



Produkt dogodkov se zgodi, ko se zgodita A in B hkrati. Če se dogodka A in B ne moreta zgoditi hkrati ju imenujemo nezdružljiv dogodek, njun produkt pa je nemogoč dogodek. Če produkt ni nemogoč dogodek pa sta A in B združljiva dogodka.


produkt dogodkov



Lastnosti produkta dogodkov:










Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Nasprotni dogodek



Nasprotni dogodek A' dogodka A se zgodi, če se A ne zgodi.


nasprotni dogodek



Lastnosti nasprotnih dogodkov:












Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Razlika dogodkov



Razlika dogodkov se zgodi, če se zgodi dogodek A in se hkrati ne zgodi dogodek B.


razlika dogodkov



Lastnosti razlike dogodkov:






Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Način dogodka



Dogodek A je način dogodka B, označimo , če se vsakokrat, ko se zgodi A, hkrati zgodi tudi B.


način dogodka



Dogodka sta enaka natanko tedaj kadar je A način dogodka B in hkrati tudi B način dogodka A.




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Bojan Petek