Neenakomerno gibanje fb
 

Enakomerno pospešeno gibanje




Friderika Lavrič, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije fizike v naslednjih krajih: Ljubljana.

Skype Učitelj/ica omogoča inštrukcije tudi prek Skypa.


Neenakomerno gibanje



V poglavju Enakomerno gibanje smo proučevali telo, ki se giblje s stalno hitrostjo po ravni črti - premici. To gibanje smo imenovali premo enakomerno gibanje.


A v splošnem hitrost gibanja ni stalna, ampak se spreminja s časom. V tem primeru je gibanje neenakomerno.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Na sliki 1 je graf odvisnosti hitrosti telesa od časa za neko neenakomerno gibanje, kjer se telesu hitrost menja po odsekih. Če se mu hitrost veča, govorimo o pospešku, če pa se mu manjša, je pospešek negativen in mu pravimo pojemek.


Slika 1: neenakomerno gibanje po odsekih.



Kako velik je pospešek (ali pojemek) je odvisno od spremembe hitrosti v opazovanem času:




Enota za pospešek je:




Vrnimo se k sliki 1. Iz matematike vemo, da smerni koeficient oziroma naklon premice izračunamo z obrazcem:




Če pogledamo gornji graf na sliki 1, smo x os označili s t (na x os nanašamo čas), y os pa z v (na y os nanašamo hitrost). Zapišimo še enkrat enačbo za smerni koeficient, z oznakami iz slike 1:




Dobili smo nič drugega kot enačbo (1), kar pomeni, da je pospešek na gornjem grafu slike 1 natanko smerni koeficient posameznih premic. To lahko lepo vidimo v primerjavi s spodnjim grafom: manjši kot je naklon premice (na gornjem grafu), manjši je pospešek (na spodnjem grafu slike 1).


Na spodnjem grafu slike 1 lahko opazimo še:

  • V intervalu se hitrost ne spreminja, zato je pospešek enak nič.

  • V intervalu hitrost pada, torej je pospešek negativen. Pravimo mu pojemek.


Pospešek gibanja je sprememba hitrosti gibanja v opazovanem času:




Pospešek telesa dobimo tako, da opazujemo naklon (strmino) grafa funkcije v(t).


Enota za pospešek je:




Neenakomerno gibanje v splošnem



Izračuni v tem poglavju so namenjeni učencem s poglobljenim znanjem. To poglavje lahko bralec izpusti brez škode za razumevanje ostale snovi.



V večini realnih situacij pa se hitrost spreminja zvezno (bolj gladko in ne odsekoma kot na sliki 1). Nekoliko bolj življenjski graf hitrosti in pospeška je prikazan na naslednji sliki:


Slika 2: splošno neenakomerno gibanje



Najprej opišimo dogajanje na sliki 2: pospešek je v začetku pozitiven in pada. Naklon se namreč manjša od časa do . V času je pospešek enak nič, saj je naklon enak nič. V času je naklon negativen - graf v(t) namreč s časom pada.


Pospešek take splošne krivulje računamo tako: pri opazovanju naklona krivulje vzamemo dovolj majhne odseke opazovanja , tako, da lahko smatramo, da se hitrost znotraj spreminja linearno. A to se zgodi šele takrat, ko se opazovani interval manjša proti neskončno majhni vrednosti (a nikoli ne doseže vrednosti 0). To je pravzaprav kar odvod funkcije v(t) po času t:




Enačba je zelo podobna enačbi (1), a da bi poudarili, da govorimo o neskončno majhnih razlikah, namesto v enačbi uporabimo oznako (difference).


Enakomerno pospešeno gibanje



Enakomerno pospešeno gibanje je posebni primer neenakomernega gibanja, kjer je pospešek a ves čas enak (konstanten). Pri enakomerno pospešenem gibanju se hitrost linearno spreminja s časom.


Izhajamo iz enačbe (1)



Splošna enačba za enakomerno pospešeno gibanje (to je, ko je pospešek a konstanten), se glasi:




Poglejmo si nekaj posebnih primerov enakomerno pospešenega gibanja.


Enakomerno pospeševanje z začetno hitrostjo nič



Obravnavajmo poseben primer enačbe




ko je začetna hitrost , trenutek, ko pa začnemo meriti gibanje () pa postavimo na 0. Enačba se preoblikuje v:




Lahko opazimo, da smo dobili primer linearne funkcije, kjer je prosti člen (n) enak 0; premico začnemo risati v izhodišču, naklon pa določa pospešek a:


Slika 3: telo pospešuje z začetno hitrostjo nič



Z grafa lahko preberemo, da je v času telo dobilo končno hitrost , zato lahko zapišemo pospešek:




Izračunajmo opravljeno pot. V intervalu 0 do se je hitrost spreminjala od 0 do . Telo v tem času opravi pot, ki je enaka produktu srednje hitrosti in časa:



Posplošimo dobljeno enačbo tako, da izrazimo pot s v odvisnosti od poljubnega časa t:




Enačba (4) predstavlja kvadratno funkcijo. Prepotovana pot se pri enakomerno pospešenem gibanju spreminja s kvadratom časa. Poglejmo:


Slika 4: odvisnost poti od časa je na grafu [kvadratna funkcija | parabola]].



Iz enačbe (3) lahko izrazimo čas , ko telo opravi pot :



Končna hitrost pa je:



Posplošimo izraza. Čas, ko telo naredi pot s je:




Hitrost v odvisnosti od razdalje paje je:




Pri enakomerno pospešenem gibanju z začetno hitrostjo nič, velja, da je:

  • hitrost v odvisnosti od časa enaka:




  • pot, ki jo naredi telo:




  • čas, ko naredi pot s:




  • hitrost v odvisnosti od poti s enaka:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Povprečna hitrost enakomernega pospešenega gibanja z začetno hitrostjo 0



Pri računanju poti, ki jo enakomerno pospešeno telo opravi v času , potrebujemo povprečno hitrost telesa v merjenem času. Ne da bi se na tem mestu spuščali v podrobnejši izračun, samo zapišimo povprečno hitrost telesa, ki je ob začetku merjenja imelo začetno hitrost in doseže končno hitrost :




Če je začetna hitrost , velja:




Izračun poti enakomernega pospešenega gibanja s pomočjo grafa (začetna hitrost je enaka 0)



Pot, ki jo opravi enakomerno pospešeno telo, lahko izračunamo tudi s pomočjo grafa; poglejmo si sliko 3. Ploščina pod premico v(t) (ploščina je obarvana z zeleno), je natanko enaka opravljeni poti. Ta ugotovitev velja tudi v splošnem:


Pot pri poljubnem (enakomernem ali neenakomernem) gibanju dobimo pot tako, da izračunamo ploščino pod grafom hitrosti.



Izračunajmo ploščino. Vidimo, da je zelena površina na sliki 3 trikotnik. Ploščina trikotnika pa je osnovnica krat višina polovic. Če to preslikamo na naš primer, ponovno dobimo:




Enakomerno pospeševanje z začetno hitrostjo



Obravnavajmo poseben primer enačbe




kjer ima telo ob začetku merjenja začetno hitrost , trenutek, ko pa začnemo meriti gibanje () pa postavimo na 0. Enačba se preoblikuje v:




Lahko opazimo, da smo dobili primer linearne funkcije, kjer je prosti člen (n) enak . Kot vemo, nam prosti člen pove, kje premica seka y os: premico začnemo torej risati v točki , naklon pa določa pospešek a:




Slika 5: telo z začetno hitrostjo pospešuje



Razdalja, ki jo telo naredi v času , je enaka ploščini pod grafom hitrosti (glej sliko 5). Sestavljena je iz razdalje, ki bi jo naredilo telo, če bi bi se gibalo s stalno hitrostjo in komponente enakomerno pospešenega gibanja.



Enačbo lahko napišemo bolj splošno tako, da izrazimo pot v odvisnosti od poljubnega opazovanega časa:




Izračunajmo še hitrost v odvisnosti od razdalje s pri znanem pospešku a in začetni hitrosti .



Pri enakomerno pospešenem gibanju z začetno hitrostjo , velja, da:


  • lahko hitrost, ki jo telo pridobi v času t, izračunamo s pomočjo naslednjih dveh enačb:






  • je pot, ki jo opravi telo v času t je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Povprečna hitrost enakomernega pospešenega gibanja z začetno hitrostjo različno nič



Pri računanju poti, ki jo enakomerno pospešeno telo opravi v času , bomo potrebovali povprešno hitrost telesa v merjenem času. Ne da bi se na tem mestu spuščali v podrobnejši izračun, samo zapišimo povprečno hitrost telesa, ki je ob začetku merjenja imelo začetno hitrost in doseže končno hitrost :




To je dejansko aritmetična sredina med začetno in končno hitrostjo.


Izračun poti enakomernega pospešenega gibanja s pomočjo grafa (začetna hitrost je različna od 0)



Tako kot prej, ko smo izračunali pot, ki jo opravi enakomerno pospešeno telo, lahko tudi zdaj pot izračunamo s pomočjo grafa; poglejmo si sliko 5. Ploščina pod premico v(t) (ploščina je obarvana z zeleno), je natanko enaka opravljeni poti. Ploščina na grafu pa je sestavljena iz pravokotnika in trikotnika:




Ploščino obeh likov sta enostavno določljivi; ploščina pravokotnika je:




ploščina trikotnika pa:




Vstavimo obe ploščini in ponovno dobimo že znano enačbo:




Telo ima začetno hitrost, ki mu s časom pada



Ob začetku merjenja ima telo začetno hitrost . Ker se telo giblje s stalnim pojemkom, se telesu hitrost zmanjšuje. Pravimo tudi, da telo zavira. Poglejmo, kako izgleda graf hitrosti v odvisnosti od časa (v(t)):


Slika 6 Graf gibanja, ko telesu pada začetna hitrost



Pospešek takega gibanja je negativen (glej sliko 6). Pravimo mu tudi pojemek. Izračunajmo pojemek:



Enačbe za hitrost in pot so enake kot v prejšnjem poglavju. Upoštevamo le, da je pospešek negativen.


Hitrost v odvisnosti od časa je:




Razdalja v odvisnosti od časa je:




Hitrost v odvisnosti od razdalje pri podanem pospešku pa je:




Izračunajmo še čas, ko mu hitrost pade na nič.



Maksimalna razdalja, ki jo naredi, preden se ustavi je enaka ploščini pod grafom hitrosti - slika 5.



Enačbe pri enakomerno pojemajočem gibanju z začetno hitrostjo so enake kot enačbe pri enakomerno pospešenem gibanju, le pospešek a spremni predznak in se v enačbah pojavi z minusom ():


  • hitrost telesa izračunamo s pomočjo naslednjih dveh enačb:






  • pot, ki jo telo prepotuje v času t je:




  • čas, ko se telo ustavi je:




  • pot zaustavljanja (ali zaviranja) pa je:





Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Satcitananda podjetje za proizvodnjo, trgovino in izobraževanje d.o.o., Ljubljana