Enakomerno pospešeno gibanje

V poglavju Enakomerno gibanje smo proučevali telo, ki se giblje s stalno hitrostjo po ravni črti - premici. To gibanje smo imenovali premo enakomerno gibanje.

A v splošnem hitrost gibanja ni stalna, ampak se spreminja s časom. V tem primeru je gibanje neenakomerno.

Na sliki 1 je graf odvisnosti hitrosti telesa od časa za neko neenakomerno gibanje, kjer se telesu hitrost menja po odsekih. Če se mu hitrost veča, govorimo o pospešku, če pa se mu manjša, je pospešek negativen in mu pravimo pojemek.

Kako velik je pospešek (ali pojemek) je odvisno od spremembe hitrosti v opazovanem času:

Enota za pospešek je:

Vrnimo se k sliki 1. Iz matematike vemo, da smerni koeficient oziroma naklon premice izračunamo z obrazcem:

Če pogledamo gornji graf na sliki 1, smo x os označili s t (na x os nanašamo čas), y os pa z v (na y os nanašamo hitrost). Zapišimo še enkrat enačbo za smerni koeficient, z oznakami iz slike 1:

Dobili smo nič drugega kot enačbo (1), kar pomeni, da je pospešek na gornjem grafu slike 1 natanko smerni koeficient posameznih premic. To lahko lepo vidimo v primerjavi s spodnjim grafom: manjši kot je naklon premice (na gornjem grafu), manjši je pospešek (na spodnjem grafu slike 1).

Na spodnjem grafu slike 1 lahko opazimo še:

V večini realnih situacij pa se hitrost spreminja zvezno (bolj gladko in ne odsekoma kot na sliki 1). Nekoliko bolj življenjski graf hitrosti in pospeška je prikazan na naslednji sliki:

Najprej opišimo dogajanje na sliki 2: pospešek je v začetku pozitiven in pada. Naklon se namreč manjša od časa do . V času je pospešek enak nič, saj je naklon enak nič. V času je naklon negativen - graf v(t) namreč s časom pada.

Pospešek take splošne krivulje računamo tako: pri opazovanju naklona krivulje vzamemo dovolj majhne odseke opazovanja , tako, da lahko smatramo, da se hitrost znotraj spreminja linearno. A to se zgodi šele takrat, ko se opazovani interval manjša proti neskončno majhni vrednosti (a nikoli ne doseže vrednosti 0). To je pravzaprav kar odvod funkcije v(t) po času t:

Enačba je zelo podobna enačbi (1), a da bi poudarili, da govorimo o neskončno majhnih razlikah, namesto v enačbi uporabimo oznako (difference).

Enakomerno pospešeno gibanje je posebni primer neenakomernega gibanja, kjer je pospešek a ves čas enak (konstanten). Pri enakomerno pospešenem gibanju se hitrost linearno spreminja s časom.

Izhajamo iz enačbe (1)

Poglejmo si nekaj posebnih primerov enakomerno pospešenega gibanja.

Obravnavajmo poseben primer enačbe

ko je začetna hitrost , trenutek, ko pa začnemo meriti gibanje () pa postavimo na 0. Enačba se preoblikuje v:

Lahko opazimo, da smo dobili primer linearne funkcije, kjer je prosti člen (n) enak 0; premico začnemo risati v izhodišču, naklon pa določa pospešek a:

Z grafa lahko preberemo, da je v času telo dobilo končno hitrost , zato lahko zapišemo pospešek:

Izračunajmo opravljeno pot. V intervalu 0 do se je hitrost spreminjala od 0 do . Telo v tem času opravi pot, ki je enaka produktu srednje hitrosti in časa:

Posplošimo dobljeno enačbo tako, da izrazimo pot s v odvisnosti od poljubnega časa t:

Enačba (4) predstavlja kvadratno funkcijo. Prepotovana pot se pri enakomerno pospešenem gibanju spreminja s kvadratom časa. Poglejmo:

Iz enačbe (3) lahko izrazimo čas , ko telo opravi pot :

Končna hitrost pa je:

Posplošimo izraza. Čas, ko telo naredi pot s je:

Hitrost v odvisnosti od razdalje paje je:

Pri računanju poti, ki jo enakomerno pospešeno telo opravi v času , potrebujemo povprečno hitrost telesa v merjenem času. Ne da bi se na tem mestu spuščali v podrobnejši izračun, samo zapišimo povprečno hitrost telesa, ki je ob začetku merjenja imelo začetno hitrost in doseže končno hitrost :

Če je začetna hitrost , velja:

Pot, ki jo opravi enakomerno pospešeno telo, lahko izračunamo tudi s pomočjo grafa; poglejmo si sliko 3. Ploščina pod premico v(t) (ploščina je obarvana z zeleno), je natanko enaka opravljeni poti. Ta ugotovitev velja tudi v splošnem:

Izračunajmo ploščino. Vidimo, da je zelena površina na sliki 3 trikotnik. Ploščina trikotnika pa je osnovnica krat višina polovic. Če to preslikamo na naš primer, ponovno dobimo:

Obravnavajmo poseben primer enačbe

kjer ima telo ob začetku merjenja začetno hitrost , trenutek, ko pa začnemo meriti gibanje () pa postavimo na 0. Enačba se preoblikuje v:

Lahko opazimo, da smo dobili primer linearne funkcije, kjer je prosti člen (n) enak . Kot vemo, nam prosti člen pove, kje premica seka y os: premico začnemo torej risati v točki , naklon pa določa pospešek a:

Razdalja, ki jo telo naredi v času , je enaka ploščini pod grafom hitrosti (glej sliko 5). Sestavljena je iz razdalje, ki bi jo naredilo telo, če bi bi se gibalo s stalno hitrostjo in komponente enakomerno pospešenega gibanja.

Enačbo lahko napišemo bolj splošno tako, da izrazimo pot v odvisnosti od poljubnega opazovanega časa:

Izračunajmo še hitrost v odvisnosti od razdalje s pri znanem pospešku a in začetni hitrosti .

Pri računanju poti, ki jo enakomerno pospešeno telo opravi v času , bomo potrebovali povprešno hitrost telesa v merjenem času. Ne da bi se na tem mestu spuščali v podrobnejši izračun, samo zapišimo povprečno hitrost telesa, ki je ob začetku merjenja imelo začetno hitrost in doseže končno hitrost :

To je dejansko aritmetična sredina med začetno in končno hitrostjo.

Tako kot prej, ko smo izračunali pot, ki jo opravi enakomerno pospešeno telo, lahko tudi zdaj pot izračunamo s pomočjo grafa; poglejmo si sliko 5. Ploščina pod premico v(t) (ploščina je obarvana z zeleno), je natanko enaka opravljeni poti. Ploščina na grafu pa je sestavljena iz pravokotnika in trikotnika:

Ploščino obeh likov sta enostavno določljivi; ploščina pravokotnika je:

ploščina trikotnika pa:

Vstavimo obe ploščini in ponovno dobimo že znano enačbo:

Ob začetku merjenja ima telo začetno hitrost . Ker se telo giblje s stalnim pojemkom, se telesu hitrost zmanjšuje. Pravimo tudi, da telo zavira. Poglejmo, kako izgleda graf hitrosti v odvisnosti od časa (v(t)):

Pospešek takega gibanja je negativen (glej sliko 6). Pravimo mu tudi pojemek. Izračunajmo pojemek:

Enačbe za hitrost in pot so enake kot v prejšnjem poglavju. Upoštevamo le, da je pospešek negativen.

Hitrost v odvisnosti od časa je:

Razdalja v odvisnosti od časa je:

Hitrost v odvisnosti od razdalje pri podanem pospešku pa je:

Izračunajmo še čas, ko mu hitrost pade na nič.

Maksimalna razdalja, ki jo naredi, preden se ustavi je enaka ploščini pod grafom hitrosti - slika 5.