Računanje verjetnosti fb
 

Računanje verjetnosti




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V poglavju Verjetnost dogodka smo spoznali lastnosti verjetnosti, t.i. aksiome verjetnosti in aksiome Kolgomorova. V tem poglavju bomo spoznali še nekaj novih lastnosti in hkrati nekaj takih, ki jih že poznamo. Tokrat bomo njihove trditve tudi dokazali.


Uporaba teh dokazanih trditev nam lahko opazno olajša računanje verjetnosti dogodkov in nudi hitrejši način reševanja vaj, ki smo jih, pred vpeljavo trditev, reševali na daljši način.


Verjetnost nemogočega dogodka



Vemo, da se nemogoči dogodek - dogodek označim s črko N - nikoli ne more zgoditi. Očitno je torej, da je verjetnost takega dogodka enaka 0.


Verjetnost nemogočega dogodka N je enako 0:




Dokaz


Naj bosta dogodka A in N nezdružljiva. Tedaj lahko z upoštevanjem aksioma verjetnosti zapišemo:




Ker očitno pa se dogodek N ne more zgoditi, lahko obenem zapišemo tudi:




Dobljeni trditvi (1) in (2) izenačimo in dobimo:




Iz česar očitno izhaja:




Verjetnost nasprotnega dogodka



Verjetnost dogodku A nasprotnega dogodka A' je enaka 1 - verjetnost dogodka A.


Verjetnost nasprotnega dogodka (A') dobimo tako, da od 1 odštejemo verjetnost osnovnega dogodka (A):




Dokaz


Definicija nasprotnega dogodka A' pravi, da sta z osnovnim dogodkom A nezdružljiva. Zato veljata trditvi:






kjer je N nemogoči dogodek, G pa gotov dogodek. Po aksiomih verjetnosti lahko zato zapišemo:




Kar je v resnici enako:




Oziroma:




Verjetnost dogodka, ki je način nekega drugega dogodka



Verjetnost dogodka, ki je način nekega drugega dogodka , je vedno manjša ali enaka od verjetnosti tega drugega dogodka.


Če je dogodek A način dogodka B; se pravi , potem velja:




Dokaz


Če velja , potem lahko dogodek B zapišemo kot vsoto dveh nezdružljivih dogodkov: A in B – A. Njegova verjetnost je tako enaka:




Oziroma okrajšano:




Za poljuben dogodek velja, da je njegova verjetnost nenegativno število: , zato očitno mora veljati neenakost:




Verjetnost razlike dogodkov



Verjetnost razlike dveh poljubnih dogodkov A in B je enaka razliki verjetnosti enega izmed dogodkov in verjetnosti preseka obeh dogodkov.


Verjetnost razlike dveh poljubnih dogodkov A in B zapišemo kot:




Dokaz


Dogodek A zapišemo kot vsoto dveh nezdružljivih dogodkov, dogodka in :




Z uporabo aksioma za računanje verjetnosti nezdružljivih dogodkov dobimo naslednjo zvezo:




Dobljeno trditev (1) preuredimo in dobimo:




Verjetnost vsote dogodkov



Kako izračunamo verjetnost vsote dveh poljubnih dogodkov, ko npr. dogodka nista nezdružljiva?


Verjetnost vsote dveh poljubnih dogodkov A in B zapišemo kot:




Dokaz


Naj bosta dogodka A in B poljubna. Velja, da sta dogodka A - B in B nezdružljiva, njuna vsota pa je enaka vsoti dogodkov A in B: . Z upoštevanjem aksioma verjetnosti dveh nezdružljivih dogodkov lahko zapišemo:




Z upoštevanjem trditve o razliki odgodkov, lahko dobljeno verjetnost zapišemo z . Dobimo:




Preuredimo in dobimo:




Zgornja meja verjetnosti dogodka



Vrednost verjetnosti poljubnega dogodka ne more biti nikoli večja od 1.


Verjetnost poljubnega dogodka ne more nikoli preseči 1:




Dokaz


Za vsak dogodek velja, da je način gotovega dogodka: . Hkrati vemo, da za gotovi dogodek velja: . Zato lahko, z upoštevanjem aksiomov verjetnosti in zgoraj dokazane relacije med dogodkom, ki je način drugega dogodka, sklepamo, da velja:




In:





glavni avtor in urednik gradiva: Inka Frolov