Stoječe valovanje in lastno nihanje vrvi fb
 

Stoječe transverzalno valovanje




Friderika Lavrič, avtor/ica gradiva, nudi inštrukcije fizike v naslednjih krajih: Ljubljana.

Skype Učitelj/ica omogoča inštrukcije tudi prek Skypa.


Vzbudimo val na vpeti elastični vrvi tako, da na eni strani zanihamo vrv. Val potuje do konca vrvi, kjer se odbije. Pri tem pride do seštevanja (superpozicije) vpadnega in odbitega vala.


V posebnem primeru se nam zazdi, da val stoji. Dolžina vrvi ali katerega drugega elastičnega medija je takrat v natančnem sorazmerju z valovno dolžino. Maksimalna amplituda nihanja vrvi je vedno na istem mestu. Vedno na istem mestu je tudi vozel vala, to je točka, kjer vrv miruje.


Stoječe transverzalno valovanje srečamo pri različnih glasbenih inštrumentih s struno (kitara, violina), elastično opno (boben) ali inštrumentih z elastično leseno ali kovinsko ploščico (ksilofon, vibrafon). Struna ali elastična ploščica so lahko togo vpeti na obeh koncih, na enem koncu ali pa sta oba konca nevpeta - glej sliko 1.



Slika 1: Kitara je primer vpete strune na obeh koncih, nato sledi model inštrumenta , ki ima enostransko vpete elastične jezičke in na koncu ksilofon, ki nima vpetih lesenih ploščic




Odboj transverzalnega vala



Predno spoznamo stoječe transverzalno valovanje najprej poglejmo, kako se val na oviri odbije.


Kako se bo val odbil je odvisno od tega , ali je vrv na drugem koncu pritrjena ali pa se lahko giblje - npr. s pomočjo škripca, ki drsi po vodoravni ali navpični prečki.



Slika 2 Odboj vala pri fiksno pritrjeni vrvi



Če je vrv pritrjena na steno kot kaže slika 2, se val odbije tako, da je postane greben vala po odboju dolina vala in obratno. Pravimo, da se val odbije v protifazi.



Slika 3 Primer, ko je vrv na eni strani pritrjena na gibljiv škripec



Če je vrv na strani odboja prirtjena npr. na gibljiv škripec, kot kaže slika 3, sa odbije val tako, da ostaja po odboju greben vala ponovno greben vala in dolina vala ponovno dolina vala. Škripec, na katerega je pritrjena vrv namreč sledi nihanju vrvi. Pravimo, da je odbiti val sofazen z vpadnim valom.


Stoječe valovanje



Kaj pa se zgodi, če sinusno zanihamo vrv, ki je vpeta na obeh straneh? Vrv zaniha tako, da zgleda, kot da val miruje. Govorimo o stoječem transverzalnem valovanju. Frekvenca, s katero niha vrv imenujemo lastno frekvenca nihanja napete vrvi.


Raziščimo stoječe valovanje na primeru, ko je dolžina vrvi mnogokratnik valovne dolžine. Na mestu, kjer je vrv vpeta, se val odbije v protifazi. Na prvi pogled zgleda, da se bosta napredujoči in odbiti val izničila. V resnici pa vsak delček vrvi niha s frekvenco v smeri osi y - glej sliko 4 in z amplitudo, ki je odvisna od razdalje x. Pri površnem opazovanju vidimo samo različne amplitude vala v odvisnosti od razdalje x, razporejene po sinusni funkciji razdalje x. Zgleda, kot da val stoji - slika 4.



Slika 4 Stoječi transverzalni val




Pojav lahko raziščemo tudi matematično.


Ta del poglavja je zahtevnejši in namenjen tistim, ki bi želeli vedeti več. Ni bistven za razumevanje nadaljevanja snovi.



V poglavju Potujoče transverzalno valovanje smo spoznali matematični zapis sinusnega potujočega vala.


Vpadni val se širi v smeri osi x proti oviri. Val naj ima amplitudo . Nasproti mu prihaja odbiti val enake frekvence in amplitude. Glede na medsebojni fazni pomik se vala seštevata ali odštevata. Ko se bosta seštevala, bo imel greben vala na določeni razdalji x dvojno amplitudo, torej . Ko bosta vala v protifazi, bo celotna vrv mirovala. Na določeni razdalji x bo vrv vedno mirovala - to je vozel vala.


Zapišimo sedaj vpadni val - glej Potujoče transverzalno valovanje:




Val zadene ob oviro in se odbije v protifazi (če je vpadni val sinusna funkcija, je odbiti val negativna sinusna funkcija). Širi se v obratni smeri kot vpadni val (torej v smeri -x). Predpostavimo, da gre na mestu odboja val ravno skozi ravnovesno lego:




Ker je (glej sodost / lihost funkcije sinus) lahko zgornji izraz zapišemo:




Vpadni in odbiti val se na vrvi seštejeta:




Poglejmo kako se vala seštejeta:



Zapišimo dobljeno enačbo v obliki:




kjer je A(x) amplituda nihanja opazovanega delca na razdalji x od začetka vrvi. Odvisna je samo od razdalje x, ne pa od časa t. To je dejansko ovojnica vala, ki jo vidimo kot stoječi val (glej sliko 4):




Faktor pa predstavlja nihanje delca strune v smeri osi y, ki se dogaja na določeni točki x.


Stoječe valovanje opišemo z enačbo:




kjer je amplituda vala - ali njegova ovojnica - A(x) odvisna od koordinate x:




Izračunan val je prikazan na sliki 4. Dejansko je prikazana samo ovojnica vala A(x). Naznačeno pa je tudi nihanje v smeri y osi v obliki vertikalnih premic s puščicami, ki kažejo smer nihanja.


Osnovna frekvenca nihanja in harmonske komponente



Osnovna frekvenca nihanja napete vrvi je najnižja frekvenca, ko se vzpostavi stoječi val. Vrv lahko zaniha tudi z večkratniki te frekvence. Pravimo jim višje harmonske frekvence.


Osnovna frekvenca nihanja napete vrvi je odvisna od hitrosti valovanja, dolžine vrvi in načina vpetja vrvi.


Na obeh straneh vpeta vrv



Vrv napnemo in jo na obeh straneh togo vpnemo. S prsti jo zanihamo. Vrv zaniha z osnovno frekvenco ali katero od višjih harmonskih komponent. Za lažjo predstavo, si lahko predstavljamo, da obravnavamo primer nihanja strune na kitari, kot na sliki 1.



Slika 5: Na straneh vpeta vrv z dolžino d; a) prikazana je osnovna frekvenca nihanja b) prikazana je prva harmonska frekvenca



Iz slike 5 vidimo, da bo pri osnovnem nihanju bo dolžina vrvi d enaka polovični valovni dolžini:




S prvo harmonsko frekvenco bo vrv nihala, ko bo:




z drugo harmonsko frekvenco bo vrv nihala, ko bo:




itn.. Na splošno velja, da se bo vzpostavil stojni val, ko bo dolžina vrvi d:




oziroma, če izrazimo valovno dolžino:




kjer je N naravno število (N = 1, 2, 3, ....)


Valovno dolžino stoječega vala v vrvi, ki je vpeta na obeh koncih, izračunamo z enačbo:




kjer je N harmoničnost (večkratnik osnovne frekvence), d pa je dolžino vrvi.



Izračunajmo frekvenco nihanja:



Če je N = 1, dobimo osnovno frekvenco nihanja (osnovni ton, če je to glasbeni instrument), če je N = 2, 3, itd., dobimo višje harmonske komponente.


Na eni strani vpeta elastična pološčica



Namesto vrvi vzemimo elastični jeziček, ga na eni strani togo vpnemo, na drugi strani pa naj prosto niha (glej slika 1 srednji inštrument). S prsti zanihamo jeziček. Stojni val, ki se vzpostavi, je prikazan na sliki 6.


Slika 6 Na eni strani vpet elastični jeziček - a) prikazana je osnovna frekvenca nihanja b) prikazana je prva harmonska frekvenca



Iz slike 6 vidimo, da bo pri osnovnem nihanju dolžina vrvi d enaka četrtini valovni dolžini:




S prvo harmonsko frekvenco bo vrv nihala, ko bo:




z drugo harmonsko frekvenco bo vrv nihala, ko bo:




itn... Na splošno velja, da se bo vzpostavil stojni val, ko bo dolžina d:




oziroma, če izrazimo valovno dolžino:




kjer je N nič ali liho naravno število (N = 0, 3, 5, ....)


Valovno dolžino stoječega vala v ploščici, ki je na eni strani vpeta, na drugi pa prosta, izračunamo z enačbo:




kjer je N harmoničnost (večkratnik osnovne frekvence), d pa je dolžino vrvi.



Izračunajmo frekvenco nihanja:



Če je N = 0, dobimo osnovno frekvenco nihanja (osnovni ton, če je to glasbeni instrument), če je N = 3 dobimo prvo harmonsko frekvenco nihanja itd.


Na obeh straneh prosta elastična ploščica



Vzemimo elastično ploščico (npr. iz lesa ali kovine) in ne da bi jo togo vpeli na podlago, udarimo po njej s kladivcem.


Slika 7 Na obeh straneh nevpeta elastična ploščica - a) prikazana je osnovna frekvenca nihanja b) prikazana je prva harmonska frekvenca. Trikotnik kaže mesto, kjer je lahko ploščica vpeta - valovni vozel



Ker na koncih ploščica ni vpeta, ima na teh mestih maksimalno amplitudo nihanja. Vmes je eden, dva ali več vozlov, kjer ploščica miruje - odvisno od harmonske frekvence s katero ploščica zaniha.


Na mestu, kjer je vozel, lahko ploščico vpnemo na podlago (primer ksilofon na sliki 1 - zadnji inštrument desno).


Iz slike 7 vidimo, da bo pri osnovnem nihanju bo dolžina vrvi d enaka polovični valovni dolžini:




S prvo harmonsko frekvenco bo vrv nihala, ko bo:




Na splošno velja, da se bo vzpostavil stojni val, ko bo dolžina ploščice d:




oziroma, če izrazimo valovno dolžino:




kjer je N nič ali liho naravno število (N = 0, 3, 5, ....)


Valovno dolžino stoječega vala v ploščici, ki je prosta na obeh koncih, izračunamo z enačbo:




kjer je N harmoničnost (večkratnik osnovne frekvence), d pa je dolžino vrvi.



Izračunajmo frekvenco nihanja:



Če je N = 0, dobimo osnovno frekvenco nihanja (osnovni ton, če je to glasbeni instrument), če je N = 3 dobimo prvo harmonsko komponento itd.




glavni avtor in urednik gradiva: Satcitananda podjetje za proizvodnjo, trgovino in izobraževanje d.o.o., Ljubljana