Uporaba odvoda fb
 

Uporaba odvoda




Avtor/ica gradiva ne nudi inštrukcij.


V tem poglavju si bomo ogledali kako lahko Odvod uporabljamo za različne namene.


Določanje tangente in normale krivulje



Določanje tangente krivulje



Dana naj bo krivulja . V točki želimo določiti tangento na krivuljo. Ker je tangenta premica, se izračuna lotimo z enačbo za smerni koeficient premice:




Iz danega obrazca izpeljemo enačbo za tangento na funkcijo v točki :



Enačba tangente na krivuljo v točki je enaka:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Določanje normale krivulje



Dana naj bo krivulja . V točki želimo določiti želimo določiti normalo na krivuljo.


Vemo, da je tangenta na krivuljo premica, ki se krivulje dotika v dani točki. Normala na krivuljo pa je premica, ki je pravokotna na tangento, poteka pa skozi isto točko, v kateri se tangenta dotika krivulje. Smerni koeficient normale je obraten in nasproten smernemu koeficientu tangente. Torej:




Izračunajmo enačbo normale na funkcijo v točki :



Enačba normale na krivuljo v točki je enaka:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Uporaba odvoda za izračun kotov



Kot med krivuljo in abscisno osjo



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in abscisa (x os).


Krivulja in tangenta sekata absciso pod enakim kotom:





Zato bomo, ko bomo iskali kot med krivuljo in x osjo, zares iskali kot med tangento na krivuljo in x osjo. Iz teorije vemo, da je tanges naklonskega kota enak smernemu koeficientu tangente:




S pomočjo trditve si poglejmo kako izračunamo naklonski kot:



Tangens naklonskega kota je enak odvodu funkcije v presečišču:




Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kot med krivuljo in ordinatno osjo



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepa krivulja in ordinata (y os).


Spomnimo: kota sta komplementarna, kadar je njuna vsota 90°. Komplementarnost nam pride zelo prav, saj lahko s pomočjo skice razberemo, da sta kota (kot med krivuljo in x osjo) in (kot med krivuljo in y osjo) komplementarna:


Opazimo komplemetarnost kotov



Komplementarnost pomeni, da velja:




in ker že znamo izračunati kot (glej predhodnje poglavje), znamo zato izračunati tudi kot .


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Kot med dvema krivuljama



V tem podpoglavju želimo poiskati kot, ki ga oklepata krivulji v njunem presečišču.


Kot med dvema krivuljama je enak kotu med tangentama na ti dve krivuljo v presečišču krivulj. Za lažje razumevanje si to poglejmo grafično:






Kot med dvema premicama pa tudi že znamo izračnati:




kjer je smerni koeficient prve tangente in smerni koeficient druge tangente.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Določanje naraščanja in padanja funkcije in njenih stacionarnih točk



Ko rišemo grafe funkcije, želimo funkcijo narisati čimbolj natančno. Zato želimo določiti intervale naraščanja / padanja in določiti njene stacionarne točke (stacionarne točke so podrobneje opisane v podpoglavju, ki sledi).


Za lažje razumevanje snovi začnimo s primerom, ki ga že znamo rešiti:


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Iz zgornjega primera ugotovimo, da funkcija najprej pada, potem začne naraščati. Ne vemo pa natanko, kje ima točko preobrata; tako so tipična vprašanja, na katera (še) ne znamo odgovoriti:

  • kje (natančno) funkcija doseže svoj minimum?

  • kje (natančno) funkcija iz padanja začne naraščati?

  • ali ima funkcija samo en minimum ali jih ima več?

Odgovore dobimo s pomočjo odvoda. Ob tem bomo pri iskanju točk preobrata potrebovali razumevanje lokalnega maksimuma in lokalnega minimuma; lokalne minimume in lokalne maksimume z eno besedo imenujemo lokalni ekstremi.


Funkcija f ima v točki lokalno največjo vrednost ali lokalni maksimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v manjše od funkcijske vrednosti . Največji med lokalnimi maksimumi je globalni maksimum.



Funkcija f ima v točki lokalno najmanjšo vrednost ali lokalni minimum, če so vse funkcijske vrednosti na nekem odprtem intervalu s središčem v večje od funkcijske vrednosti . Največji med lokalnimi minimumi je globalni minimum.



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Opomba: Lahko se zgodi, da ima funkcija v robni točki intervala [a,b] večjo vrednost kot je vrednost v največjem lokalnem maksimumu. Potem ima funkcija globalni maksimum v tej robni točki intervala [a,b]. Enako velja za globalni minimum.


Naraščanje in padanje funkcije



V točkah, v katerih je odvod funkcije pozitiven, funkcija narašča (odvod funkcije je namreč v posameznih točkah enak smernemu koeficientu tangente na krivuljo in če je smerni koeficient pozitiven, funkcija narašča), v točkah, v katerih je odvod funkcije negativen, pa funkcija pada.




Če je za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija na tem intervalu naraščajoča.


Če je za vsak x z intervala (a,b), potem je funkcija na tem intervalu padajoča.



V točki , kjer preide funkcija iz padanja v naraščanje ali iz naraščanja v padanje, ima lokalni ekstrem. V točki lokalnega ekstrema je odvod enak 0:




kar pomeni, da ima tangenta na krivuljo smerni koeficient enak nič: je torej vzporedna abscisni osi, kar je lepo razvidno s skice:


Točka lokalnega ekstrema: smerni koeficient (= odvod funkcije) tangente na krivuljo je enak 0



Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »


Stacionarne točke



Točkam, kjer je odvod funkcije enak nič - tangenta je takrat vzporedna x osi - pravimo stacionarne točke. V stacionarnih točkah se lahko nahaja lokalni minimum / maksimum oziroma prevoj.


Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni maksimum, če velja:




  • Odvod je levo od točke pozitiven, desno od pa negativen.



Odvedljiva funkcija f ima v točki lokalni minimum, če velja:




  • Odvod je levo od točke negativen, desno od pa pozitiven.



Srečamo pa se tudi s primeri stacionarnih točk, kjer funkcija ne doseže niti minimum niti maksimum. Tem točkam rečemo vodoravni prevoji za katere velja:


Funkcija ima v stacionarni točki vodoravni prevoj, če v njeni okolici odvod ne spremeni predznaka.



Ekstremalni problemi



S pomočjo odvoda lahko rešujemo tudi tako imenovane ekstremalne probleme. Ekstremalni problemi so navadno problemi, v katerih določiti količino 1 tako, da bo koičina 2 maksimalna / minimalna.


Primer

Primer je brezplačno dostopen prijavljenim uporabnikom.
 
 
Prijavi se za brezplačen dostop do primera »



glavni avtor in urednik gradiva: Darja Zlodej